Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y \geq 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in\mathcal{A} ; p|n \Rightarrow p \leq y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Soit $\pi(x)$ le nombre de nombres premiers dans l’intervalle $[1,x]$. Nous savons depuis Euclide que $\pi(x)$ tend vers l’infini, mais à quelle vitesse ?  La réponse à cette question fut obtenue pour la première fois en 1896 par Jacques Hadamard et Charles-Jean de la Vallée Poussin qui démontrèrent, de manière indépendante, le théorème des nombres premiers: \[\pi(x)\sim \frac{x}{\log x}\quad(x\to \infty).\]
La démonstration de Hadamard et La Vallée Poussin utilise principalement les propriétés de la fonction zêta de Riemann et donc l’analyse complexe. Ce n’est qu’en 1949 qu’Erdős et Selberg publièrent indépendamment la première démonstration élémentaire (utilisant uniquement l’analyse réelle) du théorème des nombres premiers. Dans cet exposé, nous présenterons le développement historique des démonstrations élémentaires du théorème des nombres premiers puis nous donnerons une version effective du théorème des nombres premiers de Lu qui, à ce jour, donne le meilleur terme d’erreur en utilisant des méthodes élémentaires.

La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui  permet de définir une généralisation des puissances (« powered numbers »). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

https://dev-iecl.univ-lorraine.fr/Les-Seminaires/Theorie-Des-Nombres/wolfcms/seminaire.html

Résumé

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Brascamp–Lieb inequalities are multilinear integral inequalities, classically set in Euclidean spaces, in which the functions involved possess symmetries that can be described via annihilation by translation invariant vector fields. With this point of view in mind, in this seminar I will present a general strategy to obtain inequalities of Brascamp–Lieb type on compact homogeneous spaces of Lie groups. The proof relies on a monotonicity property of the heat flow. In particular, I will focus on the case of real spheres, where the obtained inequalities are seen to be sharp for certain choices of symmetries.

Le but de cet exposé est d’introduire une classe indice pour les opérateurs longitudinaux G-transversalement elliptiques. Je commencerai par rappeler la définition de l’indice d’un opérateur elliptique G-invariant sur une variété compacte et le théorème de l’indice d’Atiyah-Singer. Ensuite j’introduirai la définition de la classe indice pour un opérateur G-transversalement elliptique introduite par Atiyah et celle pour les familles d’opérateurs G-transversalement elliptiques introduite dans ma thèse. Je discuterai dans le même temps les différents axiomes vérifiés par ces classes indices. Je terminerai avec les derniers résultats obtenus en collaboration avec Moulay Benameur, dans le cadre des feuilletages.

Quantum groups have been defined in the analytical/topological setting by Woronowicz in the 1980s. In this talk, we will give a brief introduction to these objects and see how they can be used for describing quantum symmetries. We will discuss some examples arising from so called « easy » quantum groups or quantum automorphism groups of finite graphs. Some ongoing research project on de Finetti type theorems with Isabelle Baraquin (Metz) will be mentioned as well.

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