La conjecture des $k$-uplets de nombres premiers par Hardy et Littlewood prédit la répartition des $k$ uplets de nombres premiers séparés par des entiers donnés. Ainsi si $k=2$, elle conjecture l’asymptotique du  nombre de pairs de nombres premiers jumeaux (dont la différence vaut $2$). Malgré les avancées récentes, elle est encore hors de portée mais permet de prédire des résultats importants sur les nombres premiers.

En 2004, sous la conjecture de Hardy et Littlewood, Montgomery et Soundararajan ont établi  une relation asymptotique pour les moments
$$M_k(X,h):=\frac1X\sum_{1\leq n\leq X} \big(\psi(n+h)-\psi(n)-h\big)^k$$
o\`u
$ \psi(x)$ est la fonction sommatoire de la fonction de von Mangoldt $\Lambda.$ Pour $k$ pair, cela fournit un équivalent. Nous
étudions le cas impair et en particulier le cas $k=3$.
Nous présenterons les nouvelles techniques développées pour le cas $k=3$ pour obtenir un équivalent et expliquerons les heuristiques dans le cas $k$ impair

A celebrated result of Duke from the 80’s says that closed geodesics on the modular curve equidistribute as the discriminant tends to infinfity. This is the real quadratic analogue of the equidistribution of CM-points on the modular curve associated to class groups of imaginary quadratic fields. In this talk I will describe a number of generalizations of the result of Duke including; the distribution of the homology classes of closed geodesics, and hyperbolic orbifolds associated class groups of real quadr. fields (as defined by Duke-Imamouglu-Toth). I will emphasize the similarities and differences with the imaginary case. If time permits I will also discuss a q-orbit analogue.

Soit $F(X,Y)$ une forme binaire à coefficients entiers, de discriminant non nul, de degré $\geq 3$.
A quelle condition, nécessaire et suffisante, existe-t-il une forme $G (X,Y)$, non $GL(2, Z)$-équivalente à $F(X,Y)$, telle qu’on ait l’égalité des images $F(Z^2) = G(Z^2)$ ?
La condition trouvée repose sur l’existence d’un élément d’ordre $3$, d’un certain type, dans le groupe d’automorphismes de $F$.
Travail en commun avec Peter Koymans.

Résumé:

La difficulté du passage de la représentation digitale d’un entier à sa représentation multiplicative (en tant que produit de facteurs premiers) est à l’origine de nombreux problèmes ouverts importants en mathématiques et en informatique. Nous présenterons une sélection de résultats et de méthodes sur la répartition digitale de suites intéressantes, notamment les nombres premiers et les carrés, obtenus en collaboration avec Christian Mauduit, Michael Drmota, et plus récemment Guy Barat, Cécile Dartyge, Bruno Martin, Igor Shparlinski et Cathy Swaenepoel.

La notion de fonction puissance d’un nombre entier, introduite par Mazur (2000) fait intervenir le noyau (ou radical) d’un entier. Cette fonction lui  permet de définir une généralisation des puissances (« powered numbers »). Après avoir rappelé des résultats récents sur le noyau d’un entier, nous présenterons des résultats nouveaux sur la fonction de répartition des puissances généralisées, ainsi que sur un problème additif concernant la représentation d’un entier comme somme de puissances généralisées. Ce travail a été réalisé en collaboration avec J. Brüdern.

Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y \geq 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in\mathcal{A} ; p|n \Rightarrow p \leq y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Les surfaces minimales sont les surfaces qui sont points critiques de la fonctionnelle d’aire à bord fixé. Elles sont caractérisées par le fait que leur courbure moyenne est nulle. Un problème posé par Ricci est de déterminer quelles surfaces riemanniennes peuvent être immergées (localement) isométriquement comme surfaces minimales de l’espace euclidien de dimension 3. Ricci a donné une caractérisation dans le cas où la surface est à courbure strictement négative. A. et S. Moroianu ont donné une caractérisation complète sans cette hypothèse et ont introduit la notion de surface de Ricci. Nous verrons des généralisations de cette notion, nous intéresserons aux surfaces de Ricci généralisées compactes et verrons le lien avec les surfaces à courbure constante et singularités coniques. Il s’agit d’un travail en commun avec Yiming Zang.