Séminaires

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Les frises de nombres sont des constructions algébriques introduites et étudiées par Coxeter au début des années 70. Coxeter établit des propriétés étonnantes en lien avec des objets classiques de la théorie des nombres ou encore de la géométrie projective. Les frises connaissent un regain d’intérêt ces dernières années dà» à  des connections avec la théorie des algèbres amassées de Fomin-Zelevinsky. Dans cet exposé on présentera les frises de Coxeter et leurs généralisations, et l’on expliquera comment les espaces de frises s’identifient avec des espaces de modules de points dans les espaces projectifs. On s’intéressera plus particulièrement au cas des frises symplectiques et des configurations Lagrangiennes de points.

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Sur un espace symétrique lorentzien, on définit les intégrales orbitales d’une fonction continue à  support compact comme les intégrales sur les orbites du groupe d’isotropies dans le groupe des transvections. Le problème qui sera abordé lors de cet exposé est d’exprimer la fonction en termes de ses intégrales orbitales. Lorsque l’espace symétrique lorentzien est à  courbure sectionnelle constante, les orbites du groupe d’isotropies sont les pseudo-sphères et le problème décrit ci-dessus a été résolu par S. Helgason en 1959 dans le cas de dimension paire. La solution prend la forme d’une formule-limite faisant intervenir l’opérateur de Laplace-Beltrami. En 1987, J. Orloff généralisa le résultat de S. Helgason à  tous les espaces symétriques pseudo-riemanniens semi-simples de rang un, comprenant les espaces symétriques lorentziens à  courbure sectionnelle constante de dimension impaire. Grâce à  M. Cahen et N. Wallach, on sait que les espaces symétriques lorentziens indécomposables ont un groupe de transvections qui est soit semi-simple, soit résoluble. Les espaces semi-simples sont à  courbure sectionnelle constante. Dès lors, le problème décrit ci-dessus est déjà  résolu sur ceux-ci. Durant l’exposé, je présenterai des espaces modèles du cas résoluble que l’on appelle les « espaces de Cahen-Wallach » et j’expliquerai comment exprimer une fonction en termes de ses intégrales orbitales sur ces espaces. La solution prend également la forme d’une formule-limite faisant intervenir des opérateurs différentiels invariants.

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Supermanifolds are a generalisation of ordinary manifolds that incorporates anti-commutative coordinates. Within the various equivalent definitions of supermanifolds, the so-called categorical approach is best equipped to deal with infinite-dimensional situations. Despite this, it has remained relatively obscure, in part due to its high level of abstraction. We present an introduction that is as close as possible to ordinary differential geometry. The theory of Lie supergroups can then be understood in terms of ordinary Lie groups. We give some important structural results for Lie supergroups, including the equivalence to super Harish-Chandra pairs for arbitrary locally convex Lie supergroups.

Les groupoïdes de Lie sont des objets qui font le lien entre les variétés différentiables et les groupes de Lie, qui en sont des cas particuliers. Nous allons décrire la structure de Poisson sur le dual de l’algébroïde de Lie d’un groupoïde de Lie G, et formuler une conjecture de type Kirillov reliant l’espace des feuilles symplectiques de cette variété de Poisson avec les représentations unitaires de la C^*-algèbre de G. Nous illustrerons ce principe à  l’aide de quelques exemples.