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Résumé

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Dans ces exposés, nous étudierons la convergence de marches aléatoires, sur les groupes quantiques finis de Sekine, définies à  partir de combinaisons linéaires des caractères irréductibles. Après avoir présenté les différents objets, nous utiliserons la théorie quantique de Diaconis et Shahshahani, introduite par McCarthy, pour borner la distance à  l’état de Haar. Nous réaliserons ensuite une classification des comportements asymptotiques en déterminant, s’il existe, l’état limite.

(Joint work with T.Benoist, R. Raquépas) Since Kurchan’s seminal work (2000), two-time measurement statistics (also known as full counting statistics) has been shown to have an important theoretical role in the context of quantum statistical mechanics, as they allow for an extension of the celebrated fluctuation relation to the quantum setting. In this contribution, we consider heat two-time measurement statistics for a locally perturbed system. We translate the problem into the analysis of the spectral measure of an auxiliary operator (a perturbed Liouvillean), which allow us to tackle consider infinitely extended reservoir. Through the analysis of this spectral measure momenta, we show heat fluctuation description differs considerably form its classical counterpart, in particular a crucial role is played by ultraviolet regularity conditions. For bounded perturbations, we give sufficient ultraviolet regularity conditions on the perturbation for the moments of the heat variation to be uniformly bounded in time, and for the Fourier transform of the heat variation distribution to be analytic and uniformly bounded in time in a complex neighborhood of 0. On a set of canonical examples, with bounded and unbounded perturbations, we show that our ultraviolet conditions are essentially necessary. If the form factor of the perturbation does not meet our assumptions, the heat variation distribution exhibits heavy tails. The tails can be as heavy as preventing the existence of a fourth moment of the heat variation. This phenomenon has no classical analogue.

Dans ces exposés, nous étudierons la convergence de marches aléatoires, sur les groupes quantiques finis de Sekine, définies à  partir de combinaisons linéaires des caractères irréductibles. Après avoir présenté les différents objets, nous utiliserons la théorie quantique de Diaconis et Shahshahani, introduite par McCarthy, pour borner la distance à  l’état de Haar. Nous réaliserons ensuite une classification des comportements asymptotiques en déterminant, s’il existe, l’état limite.

Résumé

La description quantique et relativiste des particules élémentaires a rapproché de manière considérable les notions de force et de matière. Les deux sont décrites en termes de champs; ce qui les distingue est le spin: entier pour la force, demi-entier pour la matière. Dans le second cas, la limite classique nécessite de travailler dans une catégorie de supervariétés. Dans cet exposé, nous commencerons par définir l’extension naturelle de la mécanique classique d’une particule aux supervariétés, puis nous procéderons à  sa quantification. La mécanique quantique supersymétrique ainsi obtenue fournit un cadre naturel qui permet d’établir, ne serait-ce qu’à  un niveau heuristique, la formule de Atiyah-Singer donnant l’indice de l’opérateur de Dirac. Après une brève discussion des notions requises, nous tenterons de présenter les arguments, remontant à  Witten, qui mènent à  la formule de l’indice, en se basant sur la localisation d’une intégrale de chemin dans la supervariété des lacets.