La quantification par déformation d’une théorie de champs se fait en deux étapes, d’abord pour une théorie libre à  partir de la structure de Poisson donnée par le crochet de Peierls associé au propagateur de Wightmann, ensuite pour la théorie en intéraction avec une ultérieur déformation associée au propagateur de Feynman, qui produit des ambiguités gérées par le groupe de renormalisation. Chaque étape de ce programme nécessite l’étude des fonctionnelles pouvant être déformées, compliquée par l’apparition de distributions singulières avec fronts d’ondes plus au moins adaptés aux opérations réquises. Les travaux en pAQFT dans les années 1990 et 2000 décrivent ces étapes de façon rigoureuse et complète (cf. K. Fredenhagen, M. Duetsch, R. Brunetti, S. Hollands, R.M. Wald, K. Rejzner, C. Brouder, N.V. Dang, Y. Dabrowski, etc). Avec C. Brouder, B. Fauser et R. Oeckl, nous avons montré en 2004 que si on se restreint à  des fonctionnelles régulières (et on oublie donc les problèmes analytiques), ces déformations coincident avec celles purement algébriques d’une structure de Hopf-comodule sur les fonctionnels, obtenues à  l’aide de deux couplages de Laplace définis par les propagateurs (et qui remplecent donc les crochets de Poisson dans le cadre des déformations d’algèbres de Hopf à  la Drinfeld ou à  la Majid). Les premiers résultats étaient complètement formels, et ils ont été précisés au sens géometrique par R. Borcherds en 2011, et complétés au sens algébrique et analytique par E. Herscovich en 2017. Dans cet exposé, je présente les grandes lignes de ce point de vue.

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Let (X=G/K) be a noncompact complex Grassmann manifold of rank (r). Let (tau_l) be a character of (K), and (Ktimes_M{C}) the homogeneous line bundle associated with (tau_{l_{mid M}}). We give an image characterization for the Poisson transform (P_{lambda,l}) of (L^2)-sections of (Ktimes_M{C}). More precisely, for real and regular spectral parameter (lambda) in (mathfrak{a}^ast) we prove that (P_{lambda,l}) is an isomorphism from (L^2(Ktimes_M{C})) onto a space of joint eigensections (F) of the algebra of (G)-invariant differential operators on (Gtimes_K{C}) that satisfy (displaystylesup_{R>1}frac{1}{R^r}int_{B(R)}mid F(g)mid^2, {rm d}g<infty.) This generalizes a conjecture by Strichartz which corresponds to (tau_l) trivial.\

We consider Lie groups $G$ endowed with a pair of anticommuting left-invariant abelian complex structures $(J_1,J_2)$ and a left-invariant, possibly indefinite, metric $g$ such that $(G,J_1,J_2,g)$ results to be a hyperkähler manifold. We study the algebraic structure and geometric properties of such Lie groups with an abelian hyperkähler structure. It results that such groups are always 3-step nilpotent and there is a correspondence between the associated hyperkähler Lie algebras and certain triples $(V,Omega, J_s)$ defined for a complex (associative) commutative algebra $V$ such that $V^3={0}$. This correspondence allows us to compute the Riemannian curvature of the pseudo-metric, describe the holonomy algebra and show that hyperkähler Lie groups with abelian complex structures are complete and locally symmetric. This clearly implies that every simply-connected Lie group endowed with an abelian hyperkähler structure is actually a symmetric space. In constrast to the definite case, there exist non-flat examples of abelian hyperkähler Lie groups; they cannot be 2-step nilpotent and their dimension is always equal to or greater than 16. Moreover, using the triple description, we classify up to Lie algebra isomorphism all Lie algebras $g$ admitting an abelian hyperkähler structure for $dimgle 12$. Some remarks on their classification up to triholomorphic symplectomorphism will also be mentioned. [BS_HK] I. Bajo, E. Sanmart'{i}n, « Indefinite hyperkähler metrics on Lie groups with abelian complex structures », 2019, to appear in Transformation Groups.

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