A classic paper of Salem and Zygmund investigates the distribution of trigonometric polynomials whose coefficients are chosen randomly (say +1 or -1 with equal probability) and independently. Salem and Zygmund characterized the typical distribution of such polynomials (gaussian) and the typical magnitude of their sup-norms (a degree N polynomial typically has sup-norm of size $\sqrt{N \log N}$ for large N). In this talk we will explore what happens when a weak dependence is introduced between coefficients of the polynomials; namely we consider polynomials with coefficients given by random multiplicative functions. We consider analogues of Salem and Zygmund’s results, exploring similarities and some differences.

Special attention will be given to a beautiful point-counting argument introduced by Vaughan and Wooley which ends up being useful.

This is joint work with Jacques Benatar and Alon Nishry.

Les équations de Painlevé, tout comme beaucoup d’autres équations intégrables, admettent des généralisations au cadre non-commutatif, où la variable dépendante est remplacée, par exemple, par une matrice ou un opérateur. Cette extension au cadre non-commutatif a joué un rôle centrale dans ma collaboration avec Bertola et Roubtsov sur l’étude des systèmes de Calogero-Painlevé et, plus récemment, dans ma collaboration avec Bothner et Tarricone sur les équations de Painlevé de type intégrodifférentiel et leur applications aux probabilités intégrables. Dans mon séminaire, j’essaierai d’illustrer les résultats que nous avons obtenus dans les deux cas, en soulignant leur points communs.

Les équations de Painlevé, tout comme beaucoup d’autres équations intégrables, admettent des généralisations au cadre non-commutatif, o๠la variable dépendante est remplacée, par exemple, par une matrice ou un opérateur. Cette extension au cadre non-commutatif a joué un rôle centrale dans ma collaboration avec Bertola et Roubtsov sur l’étude des systèmes de Calogero-Painlevé et, plus récemment, dans ma collaboration avec Bothner et Tarricone sur les équations de Painlevé de type intégrodifférentiel et leur applications aux probabilités intégrables. Dans mon séminaire, j’essaierai d’illustrer les résultats que nous avons obtenus dans les deux cas, en soulignant leur points communs.

Dans cet exposé nous aborderons deux aspects de l’utilité des groupoïdes de Lie. Le premier aspect concerne la théorie de l’indice des espaces stratifiés. Nous expliquerons comment les ingrédients du théorème d’Atiyah-Singer, ainsi que sa preuve, peuvent être reformulés à l’aide de groupoïdes, puis nous verrons comment étendre cette approche aux espaces stratifiés. Le second aspect concerne l’analyse microlocale sur les groupoïdes. Nous décrirons une généralisation des opérateurs pseudodifférentiels sur les groupoïdes de Lie : les opérateurs intégraux de Fourier, et nous mettrons en évidence le rôle fondamental joué par le groupoïde cotangent symplectique de Weinstein. Enfin, nous verrons que les solutions fondamentales des équations d’évolution appartiennent, à des régularisants près, à ce calcul intégral de Fourier.

Dans cet exposé nous aborderons deux aspects de l’utilité des groupoïdes de Lie. Le premier aspect concerne la théorie de l’indice des espaces stratifiés. Nous expliquerons comment les ingrédients du théorème d’Atiyah-Singer, ainsi que sa preuve, peuvent être reformulés à  l’aide de groupoïdes, puis nous verrons comment étendre cette approche aux espaces stratifiés. Le second aspect concerne l’analyse microlocale sur les groupoïdes. Nous décrirons une généralisation des opérateurs pseudodifférentiels sur les groupoïdes de Lie : les opérateurs intégraux de Fourier, et nous mettrons en évidence le rôle fondamental joué par le groupoïde cotangent symplectique de Weinstein. Enfin, nous verrons que les solutions fondamentales des équations d’évolution appartiennent, à  des régularisants près, à  ce calcul intégral de Fourier.

Cet exposé concerne la relation entre l’analyse des opérateurs différentiels et les représentations des groupes de Lie nilpotent. La condition de Rockland généralise l’ellipticité pour les opérateurs différentiels sur les variétés qui à  l’échelle infinitésimale ressemblent à  un groupe de Lie nilpotent. C’est le cas pour la géométrie de contacte et les géométries paraboliques, par exemple. Un résultat de Melin, jamais publié, montre que de tels opérateurs vérifient les propriétés d’hypoellipticité et de Fredholm sur une variété compact. Une nouvelle preuve avec le groupoïde d’holonomie d’un feuilletage singulier nous permet de généraliser en même temps le théorème des sommes-de-carrés de Hörmander et obtenir des nouvelles classes d’opérateurs hypoelliptiques. (Travaux en commun avec I. Androulidakis, O. Mohsen et E. van Erp.)

I will review the strategy of integration of Lie n-algebroids to Lie n-groupoids using the « path method » coming from Sullivan’s Rational Homotopy Theory. I will then explain how to solve the main analytic problem of this strategy, which is to show that the spaces of solutions of generalized Maurer-Cartan equations are actually manifolds. These results can be used to show that a « local integration » of Lie algebroids indeed produces local Lie n-groupods. Based on a joint work with Michal Å iraň.

Après une introduction aux groupes hautement transitifs et aux groupes agissant sur un arbre, je présenterai un résultat récent, en collaboration avec F. Le Maître, S. Moon et Y. Stalder caractérisant les groupes agissant sur un arbre qui sont hautement transitifs.

Résumé