Séminaires

La méthode conforme et ses variantes sont les principaux outils pour résoudre les équations de contrainte d’Einstein et ont été très fructueuses dans la construction de grandes familles de données initiales. Cependant, contrairement à ce que son nom suggère, cette méthode n’est pas covariante conforme. Je vais clarifier ce point en exposant un exemple explicite montrant qu’elle ne peut en aucun cas être covariante et j’expliquerai exactement pourquoi un tel échec est un problème.

Titre : Autour d'un théorème de Deligne-Lusztig

Résumé : Soit $G$ un groupe réductif sur un corps fini $\mathbb{F}_q$.
 La théorie des représentations du groupe $G(\mathbb{F}_q)$ est souvent
 comprise en étudiant la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. 
Le théorème fondamental qui motive la construction initiale de Deligne et 
Lusztig est que toutes les représentations 
irréductibles de $G(\mathbb{F}_q)$ apparaissent dans la cohomologie
 de ces variétés. 
Dans cet exposé, je presenterai une simplification de la
 preuve de ce théorème et je placerai cette construction 
au sein d'un programme dont le but est de reconstruire la 
théorie par l'introduction systématiques de méthodes 
géométriques et catégoriques. 

Titre et résumés à venir.

Dans cet exposé, je présenterai des résultats sur le comportement asymptotique d’un invariant associé à certaines actions de groupes par transformations de Möbius. Il s’agit de groupes, dit de Schottky, qui fournissent une théorie d’uniformisation pour les surfaces de Riemann compactes ayant l’avantage de se prolonger au cadre non archimédien. Pour certaines familles, y compris les groupes de réflexion de Schottky, nous obtenons une formule exacte pour le taux asymptotique de décroissance logarithmique de la dimension de Hausdorff de leurs ensembles limites.
Le cadre non archimédien est un outil crucial ici : l’invariant en question varie continûment sur un espace englobant à la fois des corps archimédiens et non (et c’est ces derniers qui apparaissent à « la limite »). Il s’agit d’un travail en commun avec Nguyen-Bac Dang.

Une surface à bord (ici le disque) est minimale à bord libre dans une surface $S$ de $R^3$ si c’est une surface minimale qui rencontre S orthogonalement le long du bord. Bien sûr, les disques équatoriaux, qui sont plans, satisfont cette propriété sur les ellipsoïdes. Nous montrons l’existence de disques non plans minimaux à bord libre plongés dans des ellipsoïdes $R^3$. C’est une réponse à une question posée par Dierkes, Hildebrandt, Küster et Wohlrab en 1992. Le résultat est comparable à la réponse récente d’une question de Yau en 1987 par Haslhofer et Ketover en 2019 : il existe des sphères minimales plongées non équatoriales dans des ellipsoïdes de $R^4$ suffisamment allongés. 

Pour montrer ce résultat, nous utilisons une caractérisation des immersions minimales d’une surface à bords dans des ellipsoïdes comme objets critiques de fonctionnelles qui combinent des valeurs propres de Steklov dépendant d’une métrique Riemannienne sur la surface. Nous obtenons ces disques non plans par maximisation de combinaisons linéaires de la première et seconde valeur propre de Steklov bien choisies parmi les métriques du disque à périmètre fixé. Nous expliquerons pourquoi nous construisons également des disques plongés par cette méthode.

Starting from 1980s, multiplier ideals, arising simultaneously in complex geometry, number theory and singularity theory, has played an important role in complex algebraic geometry and commutative algebra. In this talk, I will introduce a refined version of multiplier ideals in the sense of Hodge theory, called higher multiplier ideals. It provides new invariants for singularities of hypersurfaces. This is based on the joint work with Christian Schnell.

In a joint work with Charles de Clercq and Anne Quéguiner-Mathieu,
we are extending to arbitrary reductive groups former results on motivic
structure of projective homogeneous varieties under groups of inner type.

Dans cet exposé, nous allons présenter les propriétés de quelques complexes de sections L2 associée à une variation de structures de Hodge polarisées sur une variété Kählerienne. Nous allons nous intéresser plus particulièrement au cas d’un revêtement galoisien d’une courbe ouverte M muni d’une métrique à singularité de type Poincaré. Nous allons montrer que l’on obtient une structure de Hodge pure sur les groupes de cohomologie de ces complexes vu comme module sur une algèbre convenable dépendant du groupe du revêtement. Nous allons faire le lien si le temps le permet avec la théorie conjecturale de la cohomologie L2 des modules de Hodge sur les revêtements de variétés algébriques développée par P. Eyssidieux