In this talk I will present a joint work with C. Casagrande, in which we study smooth complex Fano 4-folds with a rational fibration onto a 3-fold. After an introduction on the setting and motivation, I will discuss our main result: if X is Fano 4-fold with a rational fibration onto a 3-fold and it is not a product of surfaces, then the Picard number of X is at most 9, and the bound is sharp. Moreover, I will present a classification result in a special case within the setting above, and show new examples of Fano 4-folds with large Picard number.

Hyperbolicité en présence d’un grand système local

Serge Lang a proposé plusieurs conjectures influentes reliant différentes notions d’hyperbolicité pour les variétés algébriques complexes projectives. Par exemple, il a conjecturé que le lieu balayé par les courbes entières coïncide avec le lieu balayé par les sous-variétés qui ne sont pas de type général, du moins après avoir pris les fermetures de Zariski. J’expliquerai que certaines de ces conjectures (dont celle ci-dessus) sont vraies pour les variétés qui admettent un grand système local complexe au sens de Campana et Kollár (par exemple toute variété qui possède une variation de structures de Hodge mixtes dont l’application des périodes est finie).

Soit X une variété complexe proiective de dimension trois avec
bonnes singularités. Miyaoka a montré dans les années 1980 que si le
fibré canonique K_X est nef, alors un certain multiple de K_X est
effectif. Ceci est le théorème classique de non-annulation pour les
variétés minimales de dimension trois.
Dans cet exposé nous expliquerons des résultats analogues pour le fibré
anticanonique -K_X, ce qui correspondent au problème de non-annulation
pour les variétés à courbure semi-positive. Plus précisément, nous
montrerons que si -K_X est nef, alors la classe numérique de -K_X est
effective.
Il s’agit d’un travail en collaboration avec Vladimir Lazić, Shin-ichi
Matsumura, Thomas Peternell and Nikolaos Tsakanikas.

Jean-François nous expliquera les inégalités « les moins difficiles » de Calegari-Marques-Neves qui relient le comptage des surfaces minimales et les invariants asymptotiques de la variété.

L’espace des métriques kähleriennes.

Un problème classique en géométrie kählerienne est de trouver des métriques kähleriennes spéciales, cet à dire avec des bonnes propriétés de courbure. En relation avec ce problème, l’étude de l’espace des métriques kähleriennes, que l’on denote H, devient cruciale.

Cet espace à été étudié à partir des année 80 quand Mabuchi a introduit un produit scalaire sur chaque espace tangent. À partir de cela, une famille de distances d_p, p>=1, on été définie sur H en démontrant que (H, d_p) est une espace métriques mais pas complet.
Dans la première partie cette exposé on donnera un panorama de tout ce que on sait sur cet espace. Puis parlera plus en détail de ses géodésiques, son complété métrique et des distances d_p.
Les résultats présentés dans cette exposé sont basés sur des deux travaux, un en collaboration avec Vincent Guedj et l’autre en collaboration avec Chinh Lu.

En 1986 William Thurston a introduit une distance Lipschitz sur
l’espace de Teichmueller de surfaces fermées ou avec cusps. Avec Daniele
Alessandrini on a étendu cette théorie à l’espace de Teichmueller des
surfaces à bord géodésique. On construit une famille de géodésiques pour
l’espace de Teichmueller des surface à bord, qui généralisent les lignes
d’étirement construites par Thurston. Comme corollaire, on trouve une
nouvelle classe de géodésique dans l’espace de Teichmueller des surfaces
fermées avec la distance Lipschitz. Ce travail est en collaboration avec
Daniele Alessandrini (Columbia University).

Titre : Structures Calabi-Yau et espaces de représentations.

Résumé : Brav et Dyckerhoff ont montré que, dans un contexte approprié, les structures dites Calabi-Yau (CY) en algèbre noncommutative induisent des structures lagrangiennes sur les espaces de représentations. Je vais donner des applications de ce principe dans le cadre des carquois en exhibant de nouvelles sous-variétés lagrangiennes du schéma de Hilbert de points sur le plan, correspondant à des lieux critiques dits relatifs ou contraints. J’expliquerai aussi comment ces structures CY recouvrent des notions standard en géométrie Poisson et (quasi)Hamiltoniennes, et comment elles donnent lieu à une nouvelle théorie topologique des champs (TFT) si le temps le permet. C’est un rapport sur des travaux réalisés avec Damien Calaque et Sarah Scherotzke.