In this talk I will present a joint work with C. Casagrande, in which we study smooth complex Fano 4-folds with a rational fibration onto a 3-fold. After an introduction on the setting and motivation, I will discuss our main result: if X is Fano 4-fold with a rational fibration onto a 3-fold and it is not a product of surfaces, then the Picard number of X is at most 9, and the bound is sharp. Moreover, I will present a classification result in a special case within the setting above, and show new examples of Fano 4-folds with large Picard number.

Quand X est une variété complexe projective lisse, de dimension d, l’i-ème itéré du cup-produit avec une section hyperplane induit un isomorphisme entre les espaces de cohomologie singulière H^(d-i)(X) et H^(d+i)(X). La conjecture standard de type Lefschetz pour X, formulée par Grothendieck dans les années 60 et encore largement ouverte, prédit que les inverses de ces isomorphismes devraient être induits par des cycles algébriques sur X \times X. Dans cet exposé, après une introduction à ces idées, je parlerai de travaux récents avec Ancona, Laterveer et Saccà, dans lesquels nous démontrons la conjecture pour certaines variétés hyperkähleriennes munies d’une fibration lagrangienne. De nouvelles idées nous permettent en fait de traiter certaines fibrations où les fibres ne sont pas toutes irréductibles, ainsi éliminant l’une des hypothèses les plus restrictives faites dans notre premier article.

Dans cet exposé, je parlerai de cônes de diviseurs de Noether-Lefschetz sur des variétés modulaires orthogonales, notamment sur les espaces de modules des surfaces K3 quasi-polarisées. Au cours des dernières années, les travaux de nombreux auteurs ont exploré la relation de ces diviseurs avec certaines formes modulaires à valeurs vectorielles : je décrirai comment cette relation peut être utilisée pour donner des descriptions explicites des cônes de diviseurs. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Ignacio Barros, Laure Flapan et Brandon Williams.

In 1995 Kollár conjectured that the Euler characteristic $\chi(K_X)\geq 0$ for any complex projective manifold $X$ having big fundamental groups. In a recent joint work with Botong Wang we prove Kollár’s conjecture if $\pi_1(X)$ is linear. I will explain the proof in the talk, which is based on $L^2$-vanishing theorems, together with techniques in the linear Shafarevich conjecture and geometry of mixed period maps.

Variétés de Fano avec un lieu de base anticanonique

We discuss some recent results concerning complex manifolds whose
universal coverings admit many bounded holomorphic functions.

Let $X$ be a quasi-projective manifold whose universal covering $M$ is
a strongly Carathéodory hyperbolic manifold. We will see that any
(quasi-)projective subvariety of $X$ is of (log-)general type. The
result is consistent with the prediction of a conjecture of Lang. We
will also see that $M$ has many interesting geometric and analytic
properties. Examples of $X$ include finite volume quotients of bounded
symmetric domains, moduli space of hyperbolic Riemann surfaces, etc.

Next we consider holomorphic maps $f:S=\Omega/\Gamma \rightarrow N$
from a finite volume quotient of bounded symmetric domain $Omega$ of
rank $\geq 2$ to a complex manifold $N$, where the universal covering
$\widetilde{N}$ of $N$ has sufficiently many bounded holomorphic
functions. We will see that the inverse $F^{-1}$ of the lifting
$F:\Omega\rightarrow \widetilde{N}$ of $f$ extends to a bounded
holomorphic map $R:\widetilde{N}\rightarrow \mathbb{C}^n$. This gives
another proof that $F$ must be a holomorphic embedding and lead to
certain rigidity result when $N$ satisfies some natural additional
geometric properties.

La décomposition de Hodge classique affirme que sur une variété compacte, toute forme différentielle lisse peut s’écrire comme somme d’une forme exacte, d’une forme co-exacte et d’une forme harmonique (pour le Laplacien de Hodge). Associée à cette décomposition il y a 3 projecteurs orthogonaux (projecteurs de Hodge). On s’intéresse à la généralisation de cette décomposition au cas d’une variété complète, non-compacte. Dans ce cas, les formes dans la décomposition sont supposées avoir une intégrabilité Lp, où 1<p<+\infty. Le problème est alors équivalent à montrer que les projecteurs de Hodge sont bornés sur Lp. On donnera une réponse complète à ce problème dans le cadre de variété asymptotiquement localement euclidiennes (ALE). C’est un travail en collaboration avec K. Kröncke (KTH Stockholm).

Voisin’s work, which constructs a series of K-trivial varieties from cubic hypersurfaces, and self-rational maps on them, called the Voisin maps, will be the focus here. Notable among these is the Fano variety of lines of a cubic fourfold, a dimension 4 hyper-Kähler manifold. The Voisin map in this case has been extensively studied. We’ll examine higher-dimensional examples, which are all strict Calabi-Yau manifolds. This session aims to study the geometry of these manifolds and apply their structural insights to the conjectures on algebraic cycles such as the generalised Bloch conjecture. The results presented here are written in a recent preprint paper: arxiv 2404.10138.

Title: Random walks on affine buildings of type \tilde{A}_2.

Summary:

Let $G$ be a group acting on a building $X$ of type $\tilde{A}_2$ and let ${Z_n}$ be a random walk on the group G, generated by an admissible measure $\mu$. The purpose of the talk is to investigate some properties of the measured dynamical system ${Z_n o}$, for $o$ a point of the building $X$. Using tools from boundary theory and the geometry of such buildings, we can prove that there exists a unique $\mu$-stationary measure supported on the chambers of the spherical building at infinity. If time allows it, we will discuss some applications about the asymptotic properties of the random walk ${Z_n o}$. I will try to introduce most notions: (affine) buildings and their boundaries, random walks and stationary measures, the Poisson-Furstenberg boundary and some of its ergodic properties.