Séminaires

Les espaces de rêve de Mori forment une classe de variétés algébriques qui jouent un rôle important en géométrie birationnelle, car elles présentent un comportement idéal dans le cadre du programme des modèles minimaux. Dans la première partie de cet exposé, nous discutons de la géométrie birationnelle de certaines hypersurfaces, et lorsque ces
hypersurfaces sont des Mori dream spaces, nous déterminons complètement leur géométrie birationnelle. Dans la seconde partie, nous examinons le comportement de la propriété « être un espace de rêve de Mori » dans des familles de variétés symplectiques holomorphes irréductibles.

La géométrie de ces surfaces est conditionnée par une équation de Liouville avec des données au bord de type Dirichlet-Neumann. La géométrie différentielle permet de séparer les variables et de construire des exemples en utilisant les systèmes intégrables. Pour aller plus loin, en combinant des aspects algébriques et analytiques, j’expliquerai comment obtenir des estimées d’énergie pour ces surfaces à bord.

Une structure de produit conforme sur une variété riemannienne $(M,g)$ est une connexion de Weyl (c’est-à-dire une connexion sans torsion qui préserve la classe conforme de la métrique $g$) à holonomie réductible. Nous classifions ces structures dans le cas où $M$ est compacte et $g$ est compatible avec une structure kählerienne. C’est un travail en collaboration avec Mihaela Pilca (Regensburg).

Le but de cet exposé est d’étudier les propriétés d’hyperbolicité des bases de familles de variétés hyperkählériennes à variation maximale. Lorsque la famille est kählérienne, le théorème de Torelli local, combiné aux travaux de Griffiths sur les variations de structures de Hodge, implique que la base est hyperbolique au sens de Kobayashi. En revanche, lorsque la famille n’est pas kählérienne, la base peut ne pas être hyperbolique, comme le montrent les exemples fournis par les familles de twisteur. On s’intéressera au cas des familles non nécessairement kählériennes, mais dont le fibré de Hodge possède des propriétés de positivité analogues à celles du cas kählérien. Pour aborder cette question, nous introduirons une variante de la pseudo-distance de Kobayashi sur l’espace de modules des variétés hyperkählériennes marquées, adaptée à ce contexte, dont nous montrerons l’annulation.