Séminaires

Je présenterai un travail en commun avec R. Petrides (Paris) et B. Premoselli (Bruxelles). Les opérateurs GJMS sont des opérateurs convariants conformes qui généralisent l’opérateur de Yamabe. Nous étudions l’infimum (supremum) de la k-ème valeur propre positive (négative) parmi les métriques de volume 1 dans une classe conforme. Nous nous intéressons en particulier à la question de savoir si elles sont atteintes ou non. Nos travaux généralisent à toutes les valeurs propres et aux opérateurs GJMS d’ordre quelconque les travaux antérieurs qui se limitaient aux valeurs propres d’ordre 1 ou 2 et aux opérateurs d’ordre 2 ou 4.

Titre : Constantes de Kazhdan pour certains groupes agissant sur des immeubles.

Résumé : La propriété (T) de Kazhdan est une propriété relative à la théorie des représentations unitaires. Grossièrement, on dit qu’un groupe a la propriété (T) de Kazhdan si, à chaque fois qu’une représentation admet « presque » des vecteurs invariants, alors il existe des vecteurs invariants. Il est possible de donner une version quantitative de cette propriété, au moyen d’un seuil de déplacement minimal pour les vecteurs presque invariants. Cette quantité est habituellement appelée la constante de Kazhdan.

Les problèmes spectraux classiques comme ceux de Dirichlet et de Neumann étudient les propriétés des fonctions propres et des valeurs propres. Leurs applications physiques concernent les modes de vibrations ainsi que la propagation de la chaleur et du son dans un domaine géométrique.

It is well-known that not every variety in positive characteristic can be lifted to characteristic 0. However, it is conjectured that lifts exist for varieties on which the Frobenius map splits globally—the so-called globally F-split varieties. Recently, Bernasconi, Brivio, Kawakami and Witaszek established the following strong version in two dimension two: globally F-split normal surfaces indeed lift, together with their minimal resolution morphism. From the point of view of the MMP, it is natural to extend this result  to non-normal surfaces that are globally F-split.

In this talk, I will report on a joint project with F. Bernasconi, where we extend this strong lifting statement to non-normal globally F-split CY surfaces. Our argument involves a precise understanding of CY surface pairs with non-empty boundary, and some equivariant MMP.

It is well understood that positivity or negativity properties of canonical line bundle encode a significant amount of geometric data about the underlying projective variety. It is therefore unsruprising to expect that the same should be true for the relative canonical divisor of families of projective varieties. For families of varieties whose canonical divisor is ample (canonically polarized) or numerically trivial (Calabi-Yau), important positivity properties of the pushforward of the relative (pluri)canonical was discovered by Fujita, Kawamata, Kollár and Viehweg. Many fundamental results then followed as a consequence – from moduli theory of such varieties to birational geometry of base spaces of their degeneration. For families of Fano varieties however much less is known. In this talk I will discuss how one can complement some of these classical results in the Fano case. This is based on ongoing joint work with Sándor Kovács.

Let $X$ be a minimal complex projective variety. Over the past years, many similar inequalities between the Chern classes of $X$ have been obtained. Moreover, it is known precisely which varieties $X$ can achieve the equality. However, so far all results in this direction have focussed on the case where the numerical dimension of $X$ is either very small or very large. In this talk, I will present analogous inequalities for varieties of intermediate Kodaira dimension and I will present a characterisation of those varieties achieving the equality. This talk is partially based on joint work with Masataka Iwai and Shin-ichi Matsumura.

A guiding problem in algebraic geometry is the classification of varieties. In dimension 1, the main invariant for their classification is the genus. Similarly, in higher dimension we study positivity properties of the canonical divisor and a first measure of these is its Iitaka dimension.
A long-standing problem is how we can relate Iitaka dimensions in fibrations: the Iitaka conjectures. Recently, Chang proved an inequality for the Iitaka dimensions of the anticanonical divisors in fibrations over fields of characteristic 0. Both Iitaka’s conjecture and Chang’s theorem are known to fail in positive characteristic. However, in a joint work with Brivio and Chang, we prove that anti-Iitaka holds when the “arithmetic properties” of the anticanonical divisor are sufficiently good.

Géométrie birationnelle des groupes algébriques en caractéristique p>0

(Première partie) Cet exposé portera sur l’étude des familles G ⟶ S de groupes algébriques paramétrées par des variétés algébriques S de caractéristique p>0. Je commencerai l’exposé en expliquant quelques conséquences, pour l’étude des groupes algébriques, de l’existence du morphisme de Frobenius. La géométrie birationnelle est l’étude des différents prolongements possibles d’une famille fixée paramétrée par les points d’un ouvert dense U de S. J’expliquerai la signification de cette étude birationnelle pour la connaissance de toutes les familles. Dans ce contexte, les éclatements de Néron (aussi appelés dilatations) sont l’outil clé pour fabriquer de nouveaux prolongements. Je les présenterai ainsi que quelques développements très récents.
(Deuxième partie) Je me concentrerai ensuite sur le cas des groupes finis et illustrerai les problèmes spécifiques à ce cas. J’introduirai l’espace de modules des prolongements d’une famille fixée, qui est une ind-variété. Enfin j’énoncerai un résultat d’existence de dilatations dans ce cadre.
L’exposé comportera de nombreux exemples.
Il s’agit de résultats obtenus en collaboration avec A. Mayeux et T. RIcharz, ainsi que de travaux d’Alice Bouillet.