Séminaires

Dans cet exposé on s’intéressera aux surfaces de demi-translation et plus particulièrement aux surfaces à petits carreaux de demi-translation. Après avoir rappelé quelques résultats sur la répartition de ces surfaces dans les espaces de modules de surfaces plates, j’exposerai des résultats récents et des conjectures sur la géométrie et la combinatoire de ces surfaces en grand genre.

Dans le cas générique (strates principales des espaces de modules), ces résultats sont dus à un travail en collaboration avec V. Delecroix, P.Zograf and A. Zorich, et s’interprètent également en terme de mutlicourbes fermées sur les surfaces. J’expliquerai également ce que l’on sait faire dans le cas des strates impaires et les conjectures correspondantes (travail en commun avec E. Duryev et I. Yakovlev).

L’indice de Morse d’un point critique d’un lagrangien L est la dimension de l’espace vectoriel
maximal sur lequel la dérivée seconde D^2 L s’annule. Dans la théorie classique des variétés de Hilbert, on montre que l’indice de Morse est semi-continu inférieurement, tandis que la somme de l’indice
de Morse et de la nullité (la dimension du noyau de l’opérateur différentiel associé à la dérivée seconde) est semi-continu supérieurement.
Dans un article récent (arXiv:2212.03124) de Francesca Da Lio, Matilde Gianoca, et Tristan
Rivière, une nouvelle méthode d’estimation de l’indice de Morse est développée dans le cas des
lagrangiens invariants conformes (ce qui inclut les applications harmoniques) en dimension 2. La
preuve repose sur une analyse délicate du comportement de la dérivée seconde dans les régions des
« cous » — qui lient la surface macroscropique à ses « bulles » — ainsi qu’une estimée ponctuelle de
la solution dans ces régions.
Dans cet exposé, nous montrerons comment généraliser cette méthode à l’énergie de Willmore, un
lagrangien invariant conforme associé aux immersions d’une surface de l’espace Euclidien. Les points
critiques de l’énergie de Willmore vérifiant une équation elliptique non-linéaire d’ordre 4, certaines
étapes feront apparaître de redoutables nouvelles difficultés techniques.
Si le temps le permet, nous essaierons de montrer le caractère universel de cette méthode, qui
laisse entrevoir de nombreuses extensions possibles : fonctionnelles de type Ginzburg-Landau en dimension 2, applications bi-harmoniques en dimension 4, fonctionnelle de Yang-Mills en dimension 4,
et généralisation de ces méthodes aux problèmes de min-max.
Travail en collaboration avec Tristan Rivière (ETH Zürich).