In this talk I will present a joint work with C. Casagrande, in which we study smooth complex Fano 4-folds with a rational fibration onto a 3-fold. After an introduction on the setting and motivation, I will discuss our main result: if X is Fano 4-fold with a rational fibration onto a 3-fold and it is not a product of surfaces, then the Picard number of X is at most 9, and the bound is sharp. Moreover, I will present a classification result in a special case within the setting above, and show new examples of Fano 4-folds with large Picard number.

En 2011, Andersen et Kashaev ont défini une TQFT de dimension infinie à partir de la théorie de Teichmüller quantique. Cette TQFT de Teichmüller fournit un invariant des 3-variétés triangulées, et notamment des complémentaires de nœuds. La conjecture du volume associée affirme que la TQFT de Teichmüller du complémentaire d’un nœud hyperbolique contient le volume hyperbolique de ce nœud comme un certain coefficient asymptotique, et Andersen et Kashaev ont démontré cette conjecture pour les deux premiers nœuds hyperboliques.

Dans cet exposé, après un historique des invariants quantiques des nœuds et des conjectures du volume, je présenterai la construction de la TQFT de Teichmüller et comment nous avons démontré sa conjecture du volume pour la famille infinie des nœuds twist. Pour ce faire nous avons construit de nouvelles triangulations des complémentaires de ces nœuds, appelées triangulations géométriques car elles encodent la structure hyperbolique de la 3-variété sous-jacente.

Aucun prérequis en topologie quantique n’est nécessaire.

(en collaboration avec E. Piguet-Nakazawa et F. Guéritaud)

Dans cet exposé nous expliquons d’abord comment associer
des couples (surfaces de Riemann, différentielles méromorphes)
aux pavages d’une surface topologique donnée par des triangles ou des
carrés. Cela nous permettra de ramener le problème de déterminer
l’asymptotique du nombre de tels pavages à des calculs de volumes de
certains espaces de modules. Nous verrons enfin comment les outils de
la géométrie analytique et algébrique complexe, notamment la variation
de la structure de Hodge, nous permettent d’obtenir des valeurs
exactes de ces volumes dans certains cas.

D’après Faltings une courbe projective lisse de genre au moins 2 définie sur un corps de nombres K n’a qu’un nombre fini de points K-rationnels. Les courbes elliptiques peuvent avoir une infinité de tels points, ainsi que la droite projective ; par contre, elles en ont « beaucoup moins » que la droite projective. Dans un travail en commun avec Y. Brunebarbe, basé sur un résultat récent de Ellenberg-Lawrence-Venkatesh, nous démontrons un résultat analogue en dimension supérieure : les variétés projectives avec groupe fondamental grand (au sens de Kollár-Campana) ont “beaucoup moins » de points que les variétés de Fano.

Sur une surface hyperbolique, une géodésique fermée est dite simple si elle ne s’intersecte pas, et une multi-géodésique est une union disjointe des géodésiques fermées simples. Dans cet exposé, j’expliquerai comment tirer une multi-géodésique au hasard, et tenterai de répondre à la question suivante : à quoi ressemble-t-elle une multi-géodésique aléatoire sur une surface hyperbolique de grand genre ?

On verra qu’elle ressemble à une permutation aléatoire, et en particulier, sur une surface hyperbolique de genre très grand, les longueurs moyennes des trois composantes les plus longues d’une multi-géodésique aléatoire sont approximativement 75,8%, 17,1%, et 4,9%, respectivement, de la longueur totale. Il s’agit d’un travail en commun avec Vincent Delecroix.

Let A be an abelian variety and G be a finite group acting on
A. If G acts freely in codimension 1, then the quotient A/G has
numerically trivial canonical divisor. A natural question is then
whether A/G admits a crepant resolution: under the additional assumption
that G acts freely in codimension 2, such a crepant resolution X would
be remarkable Calabi-Yau manifold (as it would have a nef and big
divisor D such that c_2(X)\cdot D^{n-2} = 0). Classifying such
quotients, étale in codimension 2, that admit a simply-connected crepant
resolution, was implemented by Oguiso in dimension 3 in the 90ies. We
extend his results to dimension 4 and 5, and give partial results in
arbitrary dimension.

Espaces fibrés de Mori de dimension 4 et leur groupe d’automorphismes.

Dans cet exposé j’expliquerai la relation entre l’étude des espaces fibrés de Mori rationnels avec l’action d’un groupe et l’étude des sous-groupes maximaux connexes du groupe de Cremona.
Dans le cas d’un espace fibré de Mori f:X->B sur une courbe rationnelle B, je présenterai un résultat d’existence de fermés f-horizontaux invariants par l’action du groupe d’automorphismes de X ainsi que des exemples.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec Jérémy Blanc.

Dans cet exposé j’introduirai une variété affine associée à un groupe de Weyl affine dont les points entiers sont en bijection avec les éléments du groupe. Par la suite, je donnerai certaines conséquences combinatoires en mettant l’accent sur le type A.

Un théorème de décomposition pour les variétés de Poisson holomorphes

Weinstein a montré que toute variété de Poisson holomorphe est localement le produit d’une variété symplectique et d’une variété de Poisson dont le rang est nul au point considéré. En particulier, toute variété de Poisson possède un feuilletage naturel dont les feuilles sont des variétés symplectiques. Dans un travail en collaboration avec Jorge Pereira, Brent Pym et Frédéric Touzet, nous montrons que si une variété de Poisson compacte kählérienne X a une feuille compacte L dont le groupe fondamental est fini alors, à un revêtement étale fini près, X est le produit du revêtement universel de L et d’une autre variété de Poisson.