In this talk I will present a joint work with C. Casagrande, in which we study smooth complex Fano 4-folds with a rational fibration onto a 3-fold. After an introduction on the setting and motivation, I will discuss our main result: if X is Fano 4-fold with a rational fibration onto a 3-fold and it is not a product of surfaces, then the Picard number of X is at most 9, and the bound is sharp. Moreover, I will present a classification result in a special case within the setting above, and show new examples of Fano 4-folds with large Picard number.

Starting from 1980s, multiplier ideals, arising simultaneously in complex geometry, number theory and singularity theory, has played an important role in complex algebraic geometry and commutative algebra. In this talk, I will introduce a refined version of multiplier ideals in the sense of Hodge theory, called higher multiplier ideals. It provides new invariants for singularities of hypersurfaces. This is based on the joint work with Christian Schnell.

In a joint work with Charles de Clercq and Anne Quéguiner-Mathieu,
we are extending to arbitrary reductive groups former results on motivic
structure of projective homogeneous varieties under groups of inner type.

Dans cet exposé, nous allons présenter les propriétés de quelques complexes de sections L2 associée à une variation de structures de Hodge polarisées sur une variété Kählerienne. Nous allons nous intéresser plus particulièrement au cas d’un revêtement galoisien d’une courbe ouverte M muni d’une métrique à singularité de type Poincaré. Nous allons montrer que l’on obtient une structure de Hodge pure sur les groupes de cohomologie de ces complexes vu comme module sur une algèbre convenable dépendant du groupe du revêtement. Nous allons faire le lien si le temps le permet avec la théorie conjecturale de la cohomologie L2 des modules de Hodge sur les revêtements de variétés algébriques développée par P. Eyssidieux

Hyperkähler metrics on K3 surfaces give rise to rational curves of degree 2 in the K3 period domain, socalled « twistor cycles ». While these are used in the proofs of many deep results, their existence also implies that the group of isometries of the K3 lattice does not act properly discontinuously on the period domain, preventing a moduli space of unpolarised complex K3 surfaces to exist. I will report on work in progress with Martin Schwald (Cologne), in which we study the cycle space of the K3 period domain. This space parametrises twistor cycles as part of its real locus, but also all their degenerations and complex deformations as submanifolds of the period domain. I will explain how many foundational problems regarding the moduli theory of K3s disappear when passing to the cycle space and also indicate how the original version of Penrose’s Twistor Theory (the « nonlinear graviton » construction) can be used to understand what kind of geometric structure a small complex deformation of an honest twistor line corresponds to.

Titre  : Sur l’homologie relative des certains sous-groupes
arithmetiques de SU(3)

Dans une première partie de cet exposé, nous allons rappeler un certain nombre de théorèmes
classiques permettant d’appliquer la théorie géométrique des groupes à l’étude de leur homologie.
Dans une deuxième partie, on se concentrera sur l’homologie des certains groupes de nature arithmétique dans le contexte des corps globaux de caractéristique positive. Plus précisément, soit k un tel corps et soit G = SU3 le k-groupe non-déployé défini par une forme hermitienne en 3 variables.
On décrira alors les groupes d’homologie relative de certains sous-groupes arithmétiques G de G(k)
modulo un système de représentants U des classes de conjugaison de ses sous-groupes maximaux
unipotents. Autrement dit, cela permettra de comparer les groupes d’homologie de G au co-produit
des groupes d’homologie des éléments de U.

Métriques kählériennes canoniques et éclatements

L’existence de métriques kählériennes canoniques (Kähler-Einstein, à courbure scalaire constante, etc…) dans une classe de cohomologie donnée d’une variété kählérienne compacte admet une formulation variationnelle comme équation d’Euler-Lagrange de certaines fonctionnelles. Grâce aux travaux profonds de Darvas-Rubinstein et Chen-Cheng, on sait que de plus qu’elles admettent des points critiques (donc des métriques canoniques) ssi elles satisfont une condition de croissance linéaire. Après avoir passé en revue ces objets fondamentaux, j’expliquerai comment cette caractérisation permet de généraliser des travaux d’Arezzo-Pacard et Seyyedali-Szekelyhidi portant sur la stabilité de telles métriques par éclatement de la variété. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Mattias Jonsson et Antonio Trusiani.

Une surface presque-fuchsienne est une surface minimale dans une variété hyperbolique, dont la seconde forme fondamentale est majorée par 1. Dans ce cas, elle est plongée et on peut identifier la variété hyperbolique ambiante avec le fibré normal à notre surface. Cela amène à l’étude des représentations presque-fuchsiennes de groupes de surfaces dans Isom(ℍn)\mathrm{Isom}(\mathbb H^n), qui admettent un disque presque-fuchsien équivariant. On discutera d’abord du cas de Isom(ℍ3)\mathrm{Isom}(\mathbb H^3), dans lequel les représentations presque-fuchsienne forment un voisinage connexe de l’ensemble des représentations fuchsiennes, et ensuite nous verrons un exemple dans ℍ4\mathbb H^4, pour lequel la variété hyperbolique quotient est un fibré en disques de degré 1 sur une surface.

La classification des sous-groupes algébriques des groupes des transformations birationnelles a été initiée par l’Ecole Italienne de la géométrie algébrique. Enriques et Fano énoncent la liste des sous-groupes algébriques connexes maximaux de $\mathrm{Bir}(\mathbb{P}^3)$ sur le corps des nombres complexes. En utilisant des méthodes analytiques, Umemura fournit une preuve de leur classification. Plus récemment, par des techniques purement algébriques, Blanc, Fanelli, Terpereau reconstituent et généralisent la quasi-intégralité de cette preuve. Dans cet exposé, on classifie les couples $(X,\mathrm{Aut}^\circ(X))$ tels que $X$ est un espace fibré en $\mathbb{P}^1$ sur une surface réglée non rationnelle S et $\mathrm{Aut}^\circ(X)$ est un sous-groupe algébrique connexe maximal dans $\mathrm{Bir}(X/S)$.

Je parlerai d’un travail en cours avec Romain Petrides de l’Université Paris Cité dans lequel nous proposons un cadre général permettant de déduire de façon systématique les propriétés géométriques de métriques critiques de fonctionnelles spectrales définies sur une variété compacte lisse donnée. Notre approche permet notamment d’étendre les travaux de Nadirashvili, El Soufi, Ilias, Petrides sur la maximisation des valeurs propres de l’opérateur de Laplace-Beltrami et ceux de Fraser, Schoen et Petrides sur les valeurs propres de Steklov. Nous utilisons de façon cruciale les outils d’analyse non-lisse développé par Clarke dans les années 1970. Je présenterai ces outils et expliquerai comment on les adapte au contexte des métriques critiques de fonctionnelles spectrales.