In this talk I will present a joint work with C. Casagrande, in which we study smooth complex Fano 4-folds with a rational fibration onto a 3-fold. After an introduction on the setting and motivation, I will discuss our main result: if X is Fano 4-fold with a rational fibration onto a 3-fold and it is not a product of surfaces, then the Picard number of X is at most 9, and the bound is sharp. Moreover, I will present a classification result in a special case within the setting above, and show new examples of Fano 4-folds with large Picard number.

In this talk, we will show some results about quasi-Einstein manifolds. Quasi-Einstein manifolds can be characterized as bases of Einstein warped products. On the first part, we investigated the infinity structure of a complete non-compact quasi-Einstein manifolds. In particular, we show that if M is a base of a Ricci-flat warped product then M is connected at infinity. When M is the basis of an Einstein warped product with Einstein constant λ < 0, there are examples with more than one end. In this case, we show that M is non-parabolic and, on a given hypothesis about scalar curvature, M has only one end f-non-parabolic. In addition, we obtain two estimates for the volume of the geodesic balls of M. On the second part, we will show that Bach-flat non-compact quasi-Einstein manifolds with λ = 0 and positive Ricci curvature are isometric to a rotationally symmetric metric whose fiber is a Einstein manifold.

This is joint work with R. Batista and E. Ribeiro Jr.

Ceci est un travail en commun avec Ya Deng. Étant donnée une paire (X,D) composée d’une variété complexe projective lisse X et d’un diviseur à  croisements normaux simples D, la positivité du fibré cotangent logarithmique de (X,D) a de fortes implications sur les propriétés géométriques du complémentaire de D dans X, notamment sur ses propriétés d’hyperbolicité. Dès que X est de dimension plus grande que deux et que D est non-vide, le fibré cotangent logarithmique de (X,D) ne peut pas être ample. Dans cet exposé nous donnerons une description des obstructions à  l’amplitude et exhiberons des exemples o๠le cotangent logarithmic est « aussi ample que possible ».

Si l’on fait une variation $C^1$ d’une métrique à  courbure négative sur une variété compacte, alors l’entropie du flot géodésique (invariant dynamique naturel) varie de manière $C^1$. Ce résultat est dà» à  Katok-Knieper-Weiss. Dans un travail en commun avec Samuel Tapie, nous montrons que ce résultat est valide pour une large classe de variétés non compactes à  courbure négative. J’introduirai les notions intervenant dans ce résumé, et quelques idées des preuves.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec O.Debarre, K.O’Grady et C.Voisin. Debarre et Voisin ont construit une famille de variétés projectives hyperkählériennes de dimension 4 associées aux trivecteurs sur un espace vectoriel complexe de dimension 10. Ces variétés sont des déformations de schémas de Hilbert paramétrant les schémas de longueur 2 d’une surface K3. Nous étudions ici le problème de réaliser de tels schémas de Hilbert comme variétés de Debarre-Voisin avec un intéret particulier pour les surfaces K3 polarisées de petit degré.

En 1974, Igor Shafarevich demande si les revêtements universels des variétés projectives sont toujours des variétés holomorphiquement convexes. Une réponse positive est donnée par Philippe Eyssidieux en 2004, dans le cas o๠le groupe fondamental de la variété admet une représentation linéaire fidèle. L’ingrédient principal de sa preuve est la théorie de Hodge non-abélienne qui établit une correspondance entre représentations du groupe fondamental et fibrés de Higgs sur la variété.
Depuis mes travaux de thèse, on dispose d’applications de périodes généralisées pour comprendre différemment cette correspondance. J’expliquerai ce que sont ces applications et comment on les utilise – dans un travail en cours avec Yohan Brunebarbe – pour étendre la preuve d’Eyssidieux à  des variétés quasi-projectives.

Étant donnée une surface $X$, plusieurs programmes mathématiques plus ou moins récents et souvent inspirés par la physique se penchent sur les espaces dits « de modules » $M$ paramétrisant les fibrés vectoriels à  isomorphisme près. Une approche standard est d’exploiter la structure symplectique du cotangent $T^*M$ de tels espaces et d’en tirer des propriétés intéressantes. C’est dans ce cadre qu’Hitchin a le premier défini les fibrés dits de Higgs. Dans cet exposé j’approcherai ces problématiques par l’étude de ce qui peut-être vu comme un analogue discret du précédent problème: les représentations de carquois. Dans un premier temps j’expliquerai une formule précise illustrant cette analogie, basée sur des travaux de Schiffmann puis Mellit, et motivée par des conjectures établies par Hausel, Letellier et Rodriguez Villegas. Cette formule donne le nombre de composantes d’une sous-variété Lagrangienne de $T^*M$, qui peut être comprise comme un analogue du cône nilpotent en théorie de Lie. Dans un second temps je donnerai une description combinatoire de ces composantes.

I will briefly recall what is known about the rationality problem for smooth projective hypersurfaces. I then aim to explain how to prove the following new result: a very general hypersurface of dimension n>2 and degree at least log_2(n)+2 is not stably rational.