Séminaires

Les surfaces de Ricci sont les surfaces dont la métrique satisfait la condition KΔK + g(dK,dK) +4K^3=0. Ces surfaces sont premièrement étudiées par A. Moroianu et S. Moroianu. Ils ont démontré que les surfaces de Ricci permettent localement des immersions minimales dans R^3. On va donner quelques résultats de classification des surfaces de Ricci avec des bouts caténoïdaux en utilisant une analogue de la représentation de Weierstrass.

Energy conditions are a major ingredient for the famous singularity theorems of General Relativity. In this talk we want to study one of them from the perspective of initial data sets: An embedded spacelike hypersurface of a Lorentzian manifold carries an induced Riemannian metric $g$ and a second fundamental form $k$. The dominant energy condition implies that the pairs $(g, k)$ arising in this way satisfy a certain inequality that generalizes the condition of non-negative scalar curvature of $g$ in the case $k = 0$. As for non-negative (or positive) scalar curvature, index theoretic methods can be used to study the (strict) dominant energy condition for initial data sets. In this context Dirac-Witten operators serve as the appropriate replacement for Dirac operators.

Autour de l’an 2000, Hassett et Tschinkel ont formulé des
conjectures concernant les courbes extremales sur le schema de Hilbert
d’une surface K3. La version corrigée de ces conjectures a été
démontrée par Bayer et Macri en 2015 avec des outils très techniques.
Il semble qu’il n’y avait pas d’argument géométrique élémentaire même
pour Hilb^2. En collaboration avec Verbitsky, nous fournissons un tel
argument en basse dimension, dont une certaine élaboration pourrait
eventuellement permettre d’obtenir la reponse de Bayer et Macri en
général.

Les algèbres amassées sont des anneaux commutatifs intègres avec une structure combinatoire particulière.
Cette structure consiste en la donnée d’une famille de graines, liées entre elles par une opération appelée mutation. Chaque graine est composée de deux parties : un amas et un carquois. Les variétés de Richardson ouvertes sont des strates de la variété de drapeaux associée à un groupe linéaire algébrique de type simplement lacé. Elles sont l’intersection de cellules de Schubert respectivement à deux sous-groupes de Borel opposés. Dans [Lec16], une sous-algèbre amassée de rang maximal sur l’anneau de coordonnées d’une variété de Richardson ouverte a été construite et cette sous-algèbre est conjecturée être égale à l’anneau entier. La construction de cette algèbre amassée provient d’une catégorie de Frobenius C_{v,w} de modules sur l’algèbre préprojective, définie comme intersection de deux catégories C_w et C_v déjà étudiées par Geiss, Leclerc, Schröer et Buan, Iyama, Reiten et Scott. Le lien entre les algèbres amassées et les structures amassées est donné par le caractère d’amas défini dans [GLS06].

Dans cet exposé, après un rappel du contexte, je construis un algorithme qui, étant donné les paramètres définissant une variété de Richardson ouverte, construit un module rigide maximal explicite de la catégorie de Frobenius associée et son carquois. Cet algorithme a pour donnée de départ la graine initiale pour la structure amassée sur C_w définie par un représentant w d’un élément w du groupe de Weyl. Par le biais d’une suite de mutations déterminée combinatoirement, on obtient à partir de la graine initiale un module rigide maximal de Cw qui, à suppression de certains facteurs directs près, est un module rigide maximal de Cv,w. De plus le sous-carquois du carquois muté est exactement le carquois de l’algèbre d’endomorphisme du module rigide maximal de Cv,w donnant alors la description complète d’une graine initiale pour la structure amassée de Cv,w.

Je vais expliquer un travail en commun récent avec Olivier Biquard où l’on analyse deux situations où l’on fait dégénérer des métrique coniques de Kähler-Einstein en faisant tendre l’angle de cône vers 0 pour obtenir une métrique Kähler-Einstein complète.

En courbure positive, on retrouve la métrique de Tian-Yau sur le complémentaire d’un diviseur anticanonique dans variété de Fano, et en courbure négative, on retrouve la métrique de Bergman sur un quotient de domaine symétrique borné.

The minimal model program has proven to be a powerful way to study the geometry of varieties, and recent years have shown that the insights of the minimal model program can be applied to the study of foliations.  I will explain some recent work on the existence of minimal models for foliations, especially in the case

Au cœur du programme de Langlands se trouve l’étude des représentations des groupes $p$-adiques. Un objet particulièrement intéressant pour étudier ces dernières est l’immeuble de Bruhat-Tits. Dans cet exposé, nous étudierons le lien qui existe entre les représentations d’un groupe $p$-adique et les cofaisceaux sur l’immeuble de Bruhat-Tits. En particulier, les méthodes mise en place sont valable pour les représentations $\ell$-modulaires. Nous verrons également, comment obtenir des décompositions de la catégorie des représentations $\ell$-modulaires d’un groupe $p$-adique à l’aide de systèmes d’idempotents associés à l’immeuble de Bruhat-Tits.

Dans cet exposé je présente certaines méthodes développées au cours de ma thèse. Le problème est le suivant : soient $k$ un corps (algébriquement clos) et $G$ un $k$-groupe réductif. Notons $\mathfrak{g}$ son algèbre de Lie. Si $k$ est de caractéristique nulle, l’existence de l’exponentielle permet d’intégrer toute sous-algèbre de Lie nilpotente $\mathfrak{u}\subseteq\mathfrak{g}$ en un sous-groupe unipotent lisse et connexe U⊆G tel que $Lie(U)$= $\mathfrak{u}$. Si maintenant $k$ est de caractéristique $p >0$ l’exponentielle d’éléments nilpotents de $\mathfrak{g}$ n’est plus toujours bien définie et il n’est plus a priori possible d’intégrer une sous-algèbre de Lie nilpotente arbitraire de $\mathfrak{g}$.Nous nous intéresserons ici à l’intégration des $p$-sous-algèbres restreintes $p$-nil de $\mathfrak{g}$ (à savoir les bons analogues en caractéristique $p>0$ des sous-algèbres de Lie nilpotentes de $\mathfrak{g}$). Après avoir présenté les travaux de J-P. Serre et ceux, plus récents, de P. Deligne, V. Balaji et A. J.Parameswaran qui assurent une intégration systématique de tels objets pour une borne “raisonnable » sur $\mathfrak{p}$, nous discuterons le cas plus complexe des petites caractéristiques. J’expliquerai notamment comment ma généralisation d’un théorème de P. Deligne permet l’intégration decertaines sous-algèbres de Lie $p$-nil (maximales pour un certain critère) de $\mathfrak{g}$.