Le groupe des transformations birationnelles (isomorphismes entre deux ouverts denses) du plan projectif est appelé groupe de Cremona. Un outil important pour étudier ce groupe est son action isométrique sur un espace hyperbolique. Jusqu’à  présent les éléments connus générant un sous-groupe normal propre du groupe de Cremona étaient des éléments loxodromiques (pour l’action sur l’espace hyperbolique). Il est naturel de se demander si d’autres types d’isométries possèdent cette propriété. Nous répondrons à  cette question dans cet exposé qui repose sur un article commun avec Serge Cantat et Vincent Guirardel.

Using intersection theory on non-reductive geometric invariant theoretic quotients and work of Riedl and Yang we recently completed a proof of the Green–Griffiths–Lang and Kobayashi hyperbolicity conjectures for generic hypersurfaces of polynomial degree. We explain elements of the proof. Joint work with F. Kirwan.

Bogomolov and Mumford proved that every projective K3 surface contains a rational curve. Since then, a lot of progress has been made by Bogomolov, Chen, Hassett, Li, Liedtke, Tschinkel and others, towards the stronger statement that any such surface in fact contains infinitely many rational curves. In this talk I will present joint work with Xi Chen and Christian Liedtke completing the remaining cases of this conjecture in characteristic zero, reproving some of the main previously known cases more conceptually and extending the result to arbitrary genus.

On va décrire géométriquement l’espace des modules des fibrés stables avec $c_2=0$, $det=mathcal{K}$ sur une surface de la classe VII avec $b_2=3$.
On va regarder en détail le cas d’une surface connue (minimale ou non-minimale), et aussi celui d’une surface inconnue. En utilisant cette description on obtient l’existence d’un cycle dans le cas $b_2=3$. Finalement on va expliquer quelques propriétés générales et quelques conjectures concernant le même espace de modules sur une surface de la classe VII avec $b_2$ arbitraire.

On commence par rappeler la définition des variétés de drapeaux d’un fibré vectoriel, ainsi que les fibrés en droite naturels qui leur sont associés, dont les puissances de Schur du (dual) du fibré vectoriel constituent les sections.

Dans ce cadre, on présente une généralisation naturelle du point de vue de Hartshorne sur l’amplitude des fibrés vectoriels, qui permet d’attaquer l’étude des objets décrits dans le titre.

On détaille alors le schéma de preuve, issu du papier de Brotbek–Darondeau sur la même question dans le cas du cotangent, qui permet d’obtenir des résultats sur l’amplitude des puissances de Schur du cotangent d’intersections complètes.

Si le temps le permet, on parlera de certaines propriétés en hyperbolicité satisfaites par de telles variétés.

Théorème de Chow définissable

Dans un travail en commun avec K. Cesnavicius concernant les groupes de lacets et la fibration de Hitchin, nous avons été amené à  étudier le quotient adjoint sur des bases arbitraires. Un résultat récent de Chaput et Romagny montrait un théorème de Chevalley pour des groupes simples déployés sur un schéma S, mais laissait le problème ouvert dans le cas général. On généralise leur énoncé en même temps que l’on apporte une preuve différente de leur énoncé.

Le théorème de Chow

Dans cet exposé, je vais présenter les lieux de dégénérescence orbitaux.
Ces lieux généralisent les lieux de dégénérescence classiques; étant
donnés des fibrés principaux (ou fibrés vectoriels avec une certaine
structure), ils permettent de construire des variétés projectives
« spéciales ».
Deux outils majeurs permettent de controler les propriétés intrinsèques
des variétés construites (e.g. la positivité du fibré canonique):
l’existence de désingularisations explicites de ces lieux et l’existence
de résolutions localement libres de leurs idéaux. Selon le temps
disponible, je vais présenter ces outils à  l’aide d’exemples concrets et
significatifs.
Il s’agit d’un projet en commun avec Sara Angela Filippini, Laurent
Manivel et Fabio Tanturri.