Séminaires

Les variétés singulières à  canonique numériquement trivial ont
reçu un intérêt récent, notamment dans des travaux de Greb, Guénancia,
Kebekus, Druel, Höring, Peternell, Campana… qui aboutissent à  un
théorème de décomposition « à  la Beauville-Bogomolov » dans le cadre
singulier assez large (klt). Ces travaux participent également à 
comprendre la structure du faisceau tangent d’une variété singulière à 
canonique numériquement trivial; pour des variétés relativement peu
singulières (klt lisses en codimension 2, par exemple terminales),
Höring et Peternell établissent un lien entre la positivité
(pseudoeffectivité) du faisceau tangent à  une variété et la présence
d’une facteur abélien dans sa décomposition de Beauville-Bogomolov
singulière.

Dans cet exposé, je discuterai des outils permettant de traiter la
positivité d’un faisceau réflexif sur une variété à  singularités klt,
comme la seconde classe de Chern orbifold : c’est un bon cadre pour le
faisceau tangent d’une variété à  singularités klt. J’expliquerai comment
utiliser ces outils pour généraliser l’énoncé de Höring et Peternell à 
des variétés à  singularités klt, et en présenterai quelques autres
utilités.

Dans cet exposé je terminerai la preuve de Greb-Kebekus-Peternell de la décomposition de BB infinitésimale pour variétés projective à  singularités canoniques et canonique trivial.

Dans cet exposé je présenterai des résultats préparatoires en vu de la preuve de la décomposition (sur un revêtement quasi-étale) du faisceau tangent d’une variété projective à  singularités canoniques avec première classe de Chern nulle.

Un résultat d’Arapura et Archava montre qu’un produit symétrique d’une variété X de type général est aussi de type général, dès que X est de dimension au moins 2 ; il s’agit essentiellement de montrer que les singularités de ce produit sont canoniques. Ce résultat mène naturellement à  un certain nombre de questions : si X est hyperbolique, les produits symétriques le sont-ils aussi ? à  l’inverse, la propriété « spéciale » de F. Campana est-elle invariante par produit symétrique ?

Ces questions forment en général un problème plus difficile qu’il n’y parait ; on verra que sans des hypothèses supplémentaires sur la variété X, les réponses sont en général négatives. Cependant, sous certaines hypothèses de positivité naturelles sur X, on peut obtenir des contraintes fortes sur les courbes entières tracées sur les produits symétriques. Ceci permet notamment de construire de nombreux exemples de produits symétriques hyperboliques, en choisissant un X adéquat (par exemple une hypersurface ou intersection complète de haut degré, un quotient de domaine symétrique borné…)

Il s’agit d’un travail en commun avec F. Campana et E. Rousseau.

in this talk I’ll give a somewhat detailed proof of the decomposition theorem for connected compact Kaehler manifolds with vanishing first (real) Chern class, following Beauville. Therefore I will investigate the structure of such kind of manifolds and show that their building blocks are Complex Tori, Calabi-Yau manifolds and Irreducible Holomorphic symplectic manifolds… but « just » up to a finite étale covering. We will see how this deep result is a consequence of Yau’s Theorem and other results from Riemannian geometry so that we get a (very nice) link between differential geometry and complex algebraic geometry.

soit G un groupe réductif déployé sur un corps K muni d’une
valuation à  valeurs dans R. Dans les années 70, Bruhat et Tits ont
construit un espace appelé « immeuble » sur lequel G agit. On peut alors
étudier G via son action sur l’immeuble.

Je parlerai d’une généralisation de cette construction que nous avons
obtenue avec Diego Izquierdo et Benoit Loisel dans le cas o๠la
valuation est à  valeur dans un groupe abélien totalement ordonné Lambda
quelconque.

Dans ce premier exposé introductif, très élémentaire, j’essayerai de motiver l’étude du cas singulier et présenterai un certain nombre d’exemples dans le but d’introduire les définitions de variété de Calabi-Yau et IHS dans le cas singulier.

Je reprendrai les résultats montrés l’année dernière sur les formes fondamentales en général.
Ensuite, je ferai des rappels sur les espaces homogènes et leurs plongements et en particulier les espaces homogènes minuscules.
Si le temps le permet, j’essaierai de montrer le Théorème 3.1 de l’article de Landsberg-Manivel (« On the projective geometry of rational homogeneous varieties ») qui porte sur les formes fondamentales k-ièmes des espaces homogènes minuscules.

L’exposé portera sur un travail avec Julius Ross. On sait que les puissances des classes amples sur les variétés projectives complexes ont les propriétés de Lefschetz difficile et de Hodge-Riemann. On montrera que les classes de Schur des fibrés vectoriels amples ont également ces propriétés et on en déduira des inégalités de type Khovanskii-Teissier pour les classes caractéristiques des fibrés vectoriels amples. Notre résultat nous permet en plus de donner une réponse négative à  une question de Debarre, Ein, Lazarsfeld et Voisin sur les cônes de cycles positifs en dimension et codimension supérieures à  1. Finalement on discutera quelques conjectures en relation avec notre résultat principal.

C’est un travail commun avec Erwan Rousseau (arXiv:2006.13515). Nous explorons la positivité des fibrés cotangents logarithmiques et orbifoldes le long d’arrangements d’hyperplans dans l’espace projectif. Nous montrons qu’un exemple très intéressant de Noguchi (1986) peux être généralisé très largement. Les ingrédients clés de notre approche sont l’utilisation de recouvrements de Fermat et la production de différentielles symétriques explicites, dans le cadre orbifolde de Campana. Ceci nous permet d’obtenir des nouveaux résultats dans la lignée de plusieurs résultats classiques concernant les arrangements d’hyperplans.