The classical Poincaré – Bendixson theory describes
the way a trajectory of a vector field on the real plane behaves
when accumulating to the singular locus of a vector field in question. In this talk we shall describe the way a leaf with contracting holonomy of a parabolic holomorphic foliation by curves on
a compact complex manifold approaches the singular locus of the
foliation.

L’espace de Minkowski est l’analogue lorentzien de l’espace euclidien. Il est bien connu qu’il existe un plongement isométrique du plan hyperbolique dans l’espace de Minkowski de dimension 2+1, qui est l’analogue du plongement isométrique de la sphère dans l’espace euclidien. Contrairement au cas euclidien, ce plongement isométrique n’est pas unique à  isométries globales près. Je présenterai des résultats, obtenus conjointement avec Francesco Bonsante et Peter Smillie, sur le problème de la classification de tels plongements isométriques, qui est fortement relié aux équations de Monge-Ampère, aux applications harmoniques entre surfaces riemanniennes et à  la théorie de l’espace de Teichmà¼ller universel.

Même si la notion précise de variété simplement rationnellement connexe n’est pas encore claire en général, le travail de Jong et Starr puis de Jong, He et Starr, a déjà  suscité plusieurs études récentes pour approfondir cette notion.
Dans ce projet avec Laurent Gruson et Nicolas Perrin, nous étudions des exemples de variétés de Fano en basse dimension par des méthodes explicites de géométrie birationnelle.

La conjecture de Franchetta generalisée, tel que formulée par O’Grady, concerne les cycles algebriques sur une surface K3 universelle. Il est naturel d’étendre cette conjecture aux familles universelles de variétés hyperkaehler. Ceci est étroitement lié à  la « splitting property » conjecturelle de Beauville, et la conjecture de Beauville-Voisin (qui prédit l’existence, pour toute variété hyperkaehler, d’un sous-anneau de l’anneau de Chow qui s’injecte en cohomologie). L’exposé présentera ces conjectures, leurs liens, ainsi que certains cas particuliers ou ces conjectures sont verifiées. Il s’agit d’un travail en commun avec Lie Fu, Mingmin Shen et Charles Vial.

Je vais discuter certains développements récents en direction de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, qui relie l’existence de métriques kählériennes à  courbure scalaire constante à  la notion algébro-géométrique de K-stabilité. Je soulignerai en particulier l’interprétation de cette dernière via la géométrie non-archimédienne.