In this talk I will present a joint work with C. Casagrande, in which we study smooth complex Fano 4-folds with a rational fibration onto a 3-fold. After an introduction on the setting and motivation, I will discuss our main result: if X is Fano 4-fold with a rational fibration onto a 3-fold and it is not a product of surfaces, then the Picard number of X is at most 9, and the bound is sharp. Moreover, I will present a classification result in a special case within the setting above, and show new examples of Fano 4-folds with large Picard number.

Soit G un groupe algébrique semi-simple sur un corps k algébriquement clos de caractéristique positive et soit B un sous-groupe de Borel. La cohomologie des fibrés en droites G-équivariants sur G/B induits par des
caractères de B sont des objets importants dans la théorie des représentations de G. Dans cet exposé, je vais commencer par rappeler des résultats à  leur sujet, dus à  Kempf, Griffith, Andersen, Jantzen, Kuhne-Hausmann, Irving, Doty, Sullivan, Donkin, etc.. Ensuite, je vais présenter les nouveaux résultats pour G=SL_3 obtenus dans ma thèse. Plus précisément, j’ai montré l’existence de deux filtrations de H^i(G/B,mu). La première existe pour i=1,2 et mu dans la région de Griffith.
La deuxième, qui généralise la p-filtration introduite par Jantzen, existe pour tout i et mu.

J’expliquerai comment un principe de compacité-concentration permet de montrer divers résultats, nouveaux ou déjà  connus, concernant la constante d’observabilité de l’équation des ondes, puis en application, des résultats sur les mesures quantiques d’une variété riemannienne compacte. Il s’agit de travaux en collaboration avec Y. Privat et E. Trélat.

We prove that the integral Hodge conjecture holds for 1-cycles on irreducible holomorphic symplectic varieties of K3 type and of Generalized Kummer type. As an application, we give a new proof of the integral Hodge conjecture for cubic fourfolds.

Dans cet exposé, on établira des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une 2-variété riemannienne soit isométriquement immergée comme surface à  courbure moyenne constante dans certaines variétés produits. De plus, dans le cas o๠la 2-variéte riemannienne a une courbure intrinsèque constante, on classifiera ces immersions isométriques. Il s’agit d’un travail en cours en collaboration avec Benoît Daniel (UL) et Feliciano Vità³rio (UFAL).

à€ une variété projective complexe on peut attacher de nombreux invariants : groupe fondamental, groupes de cohomologie singulière (en particulier, nombres de Betti, caractéristique d’Euler), structures de Hodge et en particulier nombres de Hodge, nombres et classes de Chern, etc.

Un « problème de construction » consiste à  essayer de produire des variétés avec certains invariants fixés à  l’avance. C’est en général très difficile et souvent ouvert.

On discutera de résultats récents de Schreieder et Paulsen-Schreieder qui expliquent comment construire des variétés projectives ayant des nombres de Hodge donnés (éventuellement modulo un entier m).

La première moitié de l’exposé sera complètement élémentaire, on rappelera la définition des nombres de Hodge, différentes méthodes de calcul, propriétés et applications, avec des exemples.

Grâce à  Borcea, Dolgachev, Nikulin et Voisin il existe une version enrichie de la symétrie miroir qui s’applique aux surfaces K3, cas dans lequel l’énoncé ordinaire est trivial. Nous la traitons comme le point de départ d’un énoncé qui s’applique en dimension quelconque. Pour énoncer le théorème principal on revisitera l’énoncé de la correspondance de McKay qui relie une singularité et sa résolution. C’est un travail en collaboration avec Kalashnikov et Veniani.