Séminaires

Étant donnée une famille de surfaces K3 polarisées au dessus d’une base de dimension 1, que peut-on dire du lieu o๠le nombre de Picard est strictement plus grand que le nombre de Picard générique ? Quand la base est une courbe complexe quasi-projective et que la famille est non-isotriviale, une première réponse à  cette question est donnée par Green-Oguiso qui montrent que cet ensemble, dit lieu de Noehter-Lefschetz, est dense pour la topologie analytique. Quand la base est le spectre d’anneau d’entiers d’un corps de nombres, la situation est moins connue. Dans cet exposé, je parlerai de résultats récents dans les deux directions: le premier affirme l’equidistribution du lieu de Noether-Lefschetz dans le cas complexe par rapport à  une mesure naturelle sur la base. Ensuite, je montrerai dans le contexte arithmétique que l’ensemble des places du corps de nombre en question o๠le nombre de Picard saute est infini. Ce dernier résultat est en commun avec Ananth Shankar, Arul Shankar et Yunqing Tang.

If L is a line bundle on a projective manifold, then the existence of effective bounds for its tensor powers to have global sections or become globally generated have been a central problem in algebaic geometry for the last 150 years. While the case of curves follows from Riemann-Roch, satsifactory answers for surfaces only arrived about thirty years ago. Research in the area has been mostly motivated by Fujita’s conjectures predicting the global generation and very ampleness of certain adjoint line bundles. In this talk we will consider the case of effective global generation for projective manifolds with numerically trivial canonical bundle. This is an account of joint work with Yusuf Mustopa.

As is well known, Hodge Theory for projective manifolds has a number of topological consequences, particularly through the Hard-Lefschetz Theorem and the Hodge-Riemann bilinear relations. Classically this theory involves a positive cohomology class, for instance the first Chern class of an ample line bundle. In this talk I will discuss an extension of this package of ideas to Schur classes of ample vector bundles. I will also discuss various consequences, including a higher-rank version of the famous Khovanskii-Teissier inequalities and some applications to algebraic combinatorics. This work is joint with Matei Toma.

It is known that minimal surfaces are unknotted in 3-sphere. We will see how this fact can be generalized.

Il s’agit d’un travail en commun avec S. Diverio et H. Guenancia. Un
résultat récent de Boucksom et Diverio montre que toutes les
sous-variétés d’un quotient lisse et compact d’un domaine borné sont de
type général. J’expliquerai comment généraliser ce type de propriété
d’hyperbolicité algébrique au cas des quotients non compacts de ces
domaines bornés ; cela permettra d’étendre au cas non symétrique un
critère d’hyperbolicité complexe établi dans un précédent travail en
collaboration avec E. Rousseau et B. Taji.

La notion de représentation maximale du groupe fondamental d’une surface dans un groupe de Lie hermitien généralise naturellement la notion de représentation fuchsienne dans $PSL(2,mathbb{R})$. Dans cet exposé, j’expliquerai comment construire une unique surface maximale dans l’espace pseudo hyperbolique $mathbb{H}^{2,n}$ qui est préservée par l’action d’une représentation maximale dans un groupe de Lie de rang 2. Comme conséquence, nous prouvons une conjecture de Labourie pour les représentations maximales en rang 2. Il s’agit d’un travail en commun avec Brian Collier et Nicolas Tholozan.

The Chow-Mumford (CM) line bundle is a functorial line bundle on the base of any family of polarized varieties, in particular on the base of families of Q-Fano varieties (that is, Fano varieties with klt singularities). It is conjectured that the CM line bundle yields a polarization on the conjectured moduli space of K-polystable Q-Fano varieties (which over the complex numbers are conjectured to be exactly the Fanos admitting a singular Kähler-Einstein metric). The above polarization conjecture boils down to showing semi-positivity and positivity statements about the CM-line bundle for families with K-semi-stable and K-polystable Q-Fano fibers, respectively. I present a joint work with Giulio Codogni where we prove the necessary semi-positivity statements in the K-semi-stable situation, and the necessary positivity statements in the uniform K-stable situation, including in both cases variants assuming K-stability only for very general fibers. Our statements work in the most general singular situation (klt singularities), and the proofs are algebraic, except the computation of the limit of a sequence of real numbers via the central limit theorem of probability theory.

Soit G un groupe algébrique semi-simple sur un corps k algébriquement clos de caractéristique positive et soit B un sous-groupe de Borel. La cohomologie des fibrés en droites G-équivariants sur G/B induits par des
caractères de B sont des objets importants dans la théorie des représentations de G. Dans cet exposé, je vais commencer par rappeler des résultats à  leur sujet, dus à  Kempf, Griffith, Andersen, Jantzen, Kuhne-Hausmann, Irving, Doty, Sullivan, Donkin, etc.. Ensuite, je vais présenter les nouveaux résultats pour G=SL_3 obtenus dans ma thèse. Plus précisément, j’ai montré l’existence de deux filtrations de H^i(G/B,mu). La première existe pour i=1,2 et mu dans la région de Griffith.
La deuxième, qui généralise la p-filtration introduite par Jantzen, existe pour tout i et mu.

J’expliquerai comment un principe de compacité-concentration permet de montrer divers résultats, nouveaux ou déjà  connus, concernant la constante d’observabilité de l’équation des ondes, puis en application, des résultats sur les mesures quantiques d’une variété riemannienne compacte. Il s’agit de travaux en collaboration avec Y. Privat et E. Trélat.