Conséquences du Frobenius splitting, notamment l’annulation de la cohomologie supérieure de tout fibré ample.

Je présenterai des travaux en cours avec F. Campana
et L. Darondeau sur l’hyperbolicité dans le cadre des paires orbifoldes.
Après quelques rappels sur les intérêts d’une telle généralisation,
je présenterai la théorie des différentielles de jets orbifoldes qui présente
quelques surprises par rapport à  la théorie classique des cas compacts
(ou logarithmiques).

Les variétés OT, introduites par Oeljeklaus et Toma, sont des variétés complexes compactes non-kahleriennes construites à  partir d’un corps de nombres K et un certain groupe d’unités U. Une sous-classe des variétés OT admet des métriques localement conformément Kahler (LCK), et a servi a infirmer une conjecture de Vaisman sur la topologie des variétés LCK. Je commencerai par présenter la construction de ces variétés et leurs propriétés connues. Ensuite, je vais parler de leur cohomologies de de Rham et Morse-Novikov, calculé récemment en termes des données arithmétiques venant de (K,U). Finalement, je donnerai quelques applications, notamment dans le cadre de la géométrie LCK. Ceci sont les résultats d’une collaboration avec A. Otiman.

La soutenance de Miguel Acosta ayant lieu à  Paris, il nous fera un exposé à  Nancy la semaine précédente.

L’existence de métriques canoniques sur les variétés sphériques, une
classe très riche de variétés presque homogènes, doit être régie par des
conditions combinatoires. Dans le cas des métriques de Kähler-Einstein
lisses, j’ai pu le vérifier d’un point de vue purement algébro-géométrique
via la K-stabilité. Pour étudier le cas d’autres métriques canoniques, il
faut développer la géométrie Kählérienne des variétés sphériques. Je
présenterai des travaux dans cette direction, avec des applications aux
métriques cscK ou log Kähler-Einstein.

Dans un travail récent Höring et Peternell ont complété la preuve de la décomposition de Bogomolov dans le cadre singulier, à  savoir toute variété projective normale lisse en codimension 2 ayant singularités canoniques et fibré canonique trivial admet un recouvrement quasi-étale qui est produit de tores complexes, de variétés de Calabi-Yau et de variétés irréductibles symplectiques. Ces dernières sont l’analogue singulier des variétés hyper-kähler et en ont pas mal de propriéétés. Dans un travail en collaboration avec A. Rapagnetta nous démontrons que tous les espaces de modules de faisceaux semistables (par rapport à  une polarisation générique) sur une surface K3 projetive sont des variétés irréductibles symplectiques, à  l’exception des produits symétriques de surfaces K3. De plus nous décrivons leur second groupe de cohomologie entière, ainsi que leur forme de Beauville et leur constante de Fujiki.

Dans cet exposé on va d’abord introduire une classe d’espaces métriques singuliers, les espaces stratifiés, qui généralisent la notion de singularité conique isolée et ont été étudiés des points de vue topologique et analytique. On va définir une notion de courbure minorée dans ces espaces et montrer comment cela entraîne une borne inférieure pour le spectre du laplacien ; dans le cas o๠cette borne est atteinte on obtient un théorème de rigidité qui, restreint aux variétés compactes lisses, redémontre le théorème d’Obata-Lichnerowicz. La dernière partie de l’exposé sera dédiée aux conséquences de ces résultats sur l’existence d’une métrique à  courbure scalaire constante dans un espace stratifié.

Les objets de l’exposé sont les groupes algébriques commutatifs
sur un corps arbitraire. Leur structure est bien comprise lorsqu’on
se restreint aux groupes linéaires sur le corps des complexes, mais le
cas général est beaucoup plus compliqué dès la dimension 2. L’exposé
présentera des résultats classiques et récents sur la catégorie abélienne
formée des groupes algébriques commutatifs et de leurs morphismes ;
on développera l’analogie avec la catégorie des faisceaux cohérents
sur une variété algébrique.

On s’intéresse aux surfaces minimales orientables, non planes, dont le bord est contenu dans deux plans horizontaux donnés et dont toutes les sections horizontales ont la même orientation. On montre que, dans cet ensemble de surfaces, le minimum de l’aire est réalisé par une caténoïde stable-instable. C’est un travail en commun avec J. Choe.

Hilbert a démontré qu’un polynôme réel en deux variables qui prend des valeurs positives est somme de quatre carrés de fractions rationnelles. Cassels, Ellison et Pfister ont montré que ce résultat est optimal : il existe de tels polynômes qui ne sont pas sommes de trois carrés de fractions rationnelles. Dans cet exposé, nous expliquerons pourquoi les polynômes qui peuvent s’écrire comme sommes de trois carrés sont denses dans l’ensemble de ceux qui sont positifs.