In this talk I will present a joint work with C. Casagrande, in which we study smooth complex Fano 4-folds with a rational fibration onto a 3-fold. After an introduction on the setting and motivation, I will discuss our main result: if X is Fano 4-fold with a rational fibration onto a 3-fold and it is not a product of surfaces, then the Picard number of X is at most 9, and the bound is sharp. Moreover, I will present a classification result in a special case within the setting above, and show new examples of Fano 4-folds with large Picard number.

https://bul.univ-lorraine.fr/index.php/s/WDWrwG4sMHcHoso

Dans cet exposé nous démontrerons un théorème de décomposition du fibré tangent des variétés à  canonique trivial raffinant le théorème de décomposition de Greb-Kebekus-Peternell.
La preuve se base de façon essentielle sur l’utilisation de la décomposition d’holonomie du fibré tangent associée à  la métrique Ricci plate de Eyssidieux-Guedj-Zeriahi sur le lieu régulier. (Le contenu de cet exposé couvre la partie II de l’article de Greb-Guenancia-Kebekus).

Les flots de Reeb sont une famille spéciale de flots qui préservent le volume dont la dynamique, en dimension 3, a été beaucoup étudie les derniers 30 ans. Nous savons par exemple que tout champs de Reeb a au moins deux orbites périodiques et que certains d’entre eux admettent des sections de Birkhoff. Si on considère un champ de vecteurs qui admet une section de Birkhoff dont le bord est un entrelac L, alors la variété ambiante privée de L fibre sur le cercle. Les fibres définissent un livre ouvert de la variété. Nous disons que le champ de vecteurs est porté par le livre ouvert.

Nous avons montré que tout champ de Reeb non-dégénéré est porté par un livre brisé (une généralisation de la notion de livre ouvert). Grâce à  cette construction, nous avons étudié certains aspects de la dynamique des flots de Reeb : nous établissons par exemple, qu’un champ de Reeb non-dégénéré a deux ou une infinité d’orbites périodiques ; et que tout champ de Reeb non-dégénéré sur une variété non-graphée est d’entropie topologique positive. Ceci est un travail en collaboration avec Vincent Colin et Pierre Dehornoy.

Je présenterai un travail récent de F. Campana établissant l’intégrabilité algébrique des feuilletages apparaissant dans la décomposition du fibré tangent d’une variété projective à  canonique trivial. Ces résultats permettent de contourner les arguments de caractéristique positive de S. Druel, dont je donnerai aussi un bref aperçu. Les travaux de Greb-Guenancia-Kebekus et Höring-Peternell, qui seront présentés dans les exposés suivants, constituent un des éléments clés de la preuve.

L’étude des actions par homéomorphismes de réseaux de groupes de Lie sur le cercle donne des résultats de rigidité en rang supérieur à  2. Ces résultats de rigidité suggèrent que, plus généralement, ce pourrait être une conséquence de la Propriété (T) qui est une propriété de rigidité pour les représentations unitaires de groupes.

Le groupe de tous les homéomorphismes du cercle est un groupe qui est naturellement muni de la topologie de la convergence uniforme. Nous verrons qu’il existe des sous-groupes fermés qui possèdent la propriété (T), ont de nombreuses représentations unitaires et agissent sur le cercle de manière non élémentaire. Ces constructions utiliseront un petit peu d’analyse/dynamique complexe, des dendrites et des kaléidoscopes !

Je présenterai un résultat de S. Druel établissant l’existence d’une décomposition pour les variétés singulières à  canonique trivial (à  revêtement près), sous l’hypothèse que les feuilletages fournis par les résultats de Greb-Kebekus-Peternell sont algébriquement intégrables.

Les variétés singulières à  canonique numériquement trivial ont
reçu un intérêt récent, notamment dans des travaux de Greb, Guénancia,
Kebekus, Druel, Höring, Peternell, Campana… qui aboutissent à  un
théorème de décomposition « à  la Beauville-Bogomolov » dans le cadre
singulier assez large (klt). Ces travaux participent également à 
comprendre la structure du faisceau tangent d’une variété singulière à 
canonique numériquement trivial; pour des variétés relativement peu
singulières (klt lisses en codimension 2, par exemple terminales),
Höring et Peternell établissent un lien entre la positivité
(pseudoeffectivité) du faisceau tangent à  une variété et la présence
d’une facteur abélien dans sa décomposition de Beauville-Bogomolov
singulière.

Dans cet exposé, je discuterai des outils permettant de traiter la
positivité d’un faisceau réflexif sur une variété à  singularités klt,
comme la seconde classe de Chern orbifold : c’est un bon cadre pour le
faisceau tangent d’une variété à  singularités klt. J’expliquerai comment
utiliser ces outils pour généraliser l’énoncé de Höring et Peternell à 
des variétés à  singularités klt, et en présenterai quelques autres
utilités.

Dans cet exposé je terminerai la preuve de Greb-Kebekus-Peternell de la décomposition de BB infinitésimale pour variétés projective à  singularités canoniques et canonique trivial.

Dans cet exposé je présenterai des résultats préparatoires en vu de la preuve de la décomposition (sur un revêtement quasi-étale) du faisceau tangent d’une variété projective à  singularités canoniques avec première classe de Chern nulle.