Séminaires

L’étude des limites de Gromov-Hausdorff de variétés à courbure de Ricci minorée a débuté en 1981 avec un théorème de pré-compacité de Gromov : depuis, une vaste théorie de la régularité a été développée grâce aux travaux de J. Cheeger, T.H. Colding, M. Anderson, G. Tian, A. Naber, W. Jiang. Néanmoins, dans de nombreuses situations, on ne dispose pas d’une minoration uniforme sur la courbure de Ricci. Il est donc important d’étudier des suites de variétés avec une hypothèse plus faible sur la courbure. Dans la première partie de cet exposé, je présenterai le contexte de la convergence de Gromov-Hausdorff et les principaux résultats connus dans le cas de courbure de Ricci minorée. J’introduirai ensuite une condition moins restrictive, la borne de Kato, et les résultats de régularité que nous avons obtenus dans un travail en collaboration avec G. Carron et D. Tewodrose. La deuxième partie de l’exposé sera dédiée aux nouvelles quantités monotones que nous avons introduites et au rôle fondamental qu’elles jouent dans nos preuves.

Il est bien connu depuis la thèse de Margulis que les propriétés de mélange du flot géodésique des variétés riemanniennes fermées à courbure négative peuvent être utilisées pour obtenir divers résultats d’équidistribution : équidistribution des géodésiques fermées, ou encore équidistribution des orbites du groupe fondamental dans le revêtement universel. À l’aide des densités dites de Patterson-Sullivan, les idées de Margulis ont pu être appliquées à des contextes géométriques plus généraux ; par exemple par Roblin qui étudia des espaces localement CAT(-1) non compacts.

Dans cet exposé, nous discuterons de ces questions de mélange et équidistribution dans un autre contexte géométrique : celui des variétés projectives convexes, autrement dit des quotients d’ouverts proprement convexes d’un espace projectif réel. Ces variétés apparaissent naturellement lors de l’étude de certains sous-groupes discrets des groupes de Lie. Leurs droites projectives sont des géodésiques pour une certaine métrique finslérienne, dite de Hilbert (qui n’est en général pas CAT(0)), et on leur associe naturellement un flot géodésique. Les résultats qui seront présentés sont issus d’une collaboration avec Feng Zhu.

On the one hand, the Littelmann’s path model is a combinatorial tool that describes the representation theory of any (symmetrizable) Kac-Moody Lie algebra, available since 1994. The paths in this model are piecewise linear paths in the finite dimensional real vector space spanned by the fundamental weights. But this vector space together with its affine hyperplanes arrangement is also the standard apartment of an object called the masure, introduced by Gaussent-Rousseau in 2008. The masure is playing the role of the Bruhat-Tits building in the Kac-Moody setting. On the other hand, in the finite dimensional setting, Mirkovic and Vilonen developed a geometric model of the aforementionned representations, by introducing subvarieties in the affine Grassmannian associated to a reductive group, first in 2000. Most of the algebraic information can be derived from the associated polytopes, and there is a bijection between paths and polytopes. In 2014, Baumann, Kamnitzer and Tingley defined the Mirkovic-Vilonen polytopes in the Kac-Moody setting using preprojective algebras. Our goal is to take advantage of the combinatoric/geometric nature of the masure to realize Mirkovic-Vilonen polytopes directly from Littelmann’s paths.
This is a joint work with Stéphane Gaussent.

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Il est naturel de regarder des transformations birationnelles du plan, càd des isomorphismes des ouverts de Zariski du plan. Il y en a beaucoup qui sont des involutions et on peut se mettre à les classifier à conjugaison près. Sur le corps des nombres complexes une telle involution possède des courbes fixes rationnelles ou bien une unique courbe fixe irrationnelle. Dans ce dernier cas, les classes de conjugaison des involutions sont à bijection avec les classes d’isomorphismes des courbes fixes. Pas surprenant, ce n’est plus le cas sur le corps des nombres réels…
Je vais motiver la classification dans le cas complexe et ensuite je vais raconter ce qui est connu dans le cas réel.

Comme tous les « séminaires communs de géométrie », nous aurons de 14h à 14h45 une introduction au sujet de niveau Colloquium, puis de 14h45 à 15h15 une pause thé-gateaux-géométrie, puis de 15h15 à 16h la suite de l’exposé de recherche.

Le problème de Wentzel est un problème spectral avec les valeurs propres dans les conditions au bord. En effet, il s’agit en quelque sorte d’une perturbation du problème de Steklov, plus connu, dont le spectre correspond à celui de l’opérateur Dirichlet-to-Neumann et qui est un cas particulier correspondant à la valeur zéro du paramètre de perturbation dans le problème de Wentzel.

Bien que le problème de Wentzel partage certaines propriétés communes avec et le problème de Steklov et le problème fermé sur les hypersurfaces, ses valeurs propres et fonctions propres ont un certain nombre de caractéristiques géométriques distinctives dûes au paramètre de perturbation, rendant le sujet particulièrement attrayant.

Dans cette présentation, nous discuterons des avancées récentes sur l’estimation des valeurs propres par rapport aux invariants géométriques du domaine considéré, tels que la courbure, le rapport isopérimétrique ou encore la concentration volumique du bord. Nous donnerons des Bornes sup ́erieures uniformes explicites, obtenues grâce à des méthodes de décomposition métrique sur la variété Riemannienne ambiante. Ceci permet d’établir des estimations optimales selon la loi asymptotique de Weyl.

We show the following algebraicity result for a complex projective variety X with big representation of π1 into an almost simple algebraic group: There exists a proper subvariety Z ⊂ X such that for any algebraic curve C, any holomorphic map f : C → X with f(C) not contained in Z is induced from an algebraic morphism. As a corollary, we show that such varieties are pseudo-Brody hyperbolic.

Dans cet exposé, nous construirons un plongement f d'un disque fermé dans R^3 
dont la restriction à  l'intérieur du disque est un plongement C^1
isométrique du disque de Poincaré et qui est, sur le disque fermé,
beta-Hölder pour tout 0< beta <1. En particulier, ce plongement a une
courbe fermée plongée de dimension de Hausdorff 1 comme ensemble limite.

We study the T-equivariant cobordism rings for the action of a maximal torus T on smooth varieties over an algebraically closed field of characteristic zero. The rational T-equivariant cobordism rings of a wide range of examples were computed in recent years including the classes of toric varieties, flag varieties and symmetric varieties of minimal rank using mainly the technique of localisation at fixed points. We seek to extend the known results to any smooth projective (horo-)spherical variety with an action of a maximal torus T. Among others, we obtain explicit presentations for the rational equivariant cobordism rings of odd symplectic Grassmannians IG(k,2n+1). Furthermore, using the self-intersection formula, we are able to compute a wide range of classes in the rational T-equivariant cobordism ring.