Nous étudions la transformation de Poisson des hyperformes différentielles sur la sphère $S^{n-1}$ vue comme frontière de Furstenberg de l’espace hyperbolique réel $H^n(\mathbb R)$.
Pour $1< r < \infty$, $0\leq p < (n-1)/2$ et $q=p-1, p$, nous montrons de cette transformation est un isomorphisme topologique de l’espace $L^r$ des  $q$-hyperformes  de $S^{n-1}$ sur un sous-espace de type Hardy de l’espace des $p$-formes de $H^n(\mathbb R)$ qui sont functions propres du Laplacien de Hodge-de Rham.
(Travail en collaboration avec S. Bensaid et A. Boussejra)

Dans un travail en commun avec Michael Kaminski et Igor Shparlinski (arXiv:2110.04657), nous donnons des exemples explicites d’ensembles de $m$ formes linéaires en $n$ variables sur le corps des nombres rationnels, dont le calcul nécessite $m(n-1)$ additions.

On s’intéresse à des sommes exponentielles habituellement indexées par un système de représentants
des entiers inversibles modulo p, ou des inversibles modulo une puissance d’un nombre premier p.
Cependant, au lieu de regarder ces sommes complètes, on les restreint en les indexant seulement
par un sous-groupe d’ordre d fixé. Lorsque p tend vers l’infini en respectant certaines conditions de
congruence qui assurent l’existence d’un unique sous-groupe d’ordre d, on démontre que nos
familles de sommes exponentielles s’équirépartissent dans certaines régions du plan complexe
décrites comme l’image d’un tore par un polynôme de Laurent relativement explicite. Dans un second temps, on montre que l’on peut également restreindre le paramètre indexant la famille de sommes à ne parcourir que de très petits sous-groupes des classes inversibles modulo p, sans affecter le résultat d’équirépartition.

Vaaler (II)

Normes de Gowers.

Les notions de base sur les immeubles affines seront introduites : ces espaces sont des complexes cellulaires attachés à des groupes de Lie non archimédiens pour mieux les comprendre. Ensuite, quelques procédures classiques pour compacter ces espaces seront décrites, par analogie avec les espaces symétriques riemanniens non compacts. Ce sera enfin l’occasion d’expliquer en quel sens les compactifications de Martin fournissent un moyen naturel et analytique d’obtenir des compactifications « à gros bord » (obtenues plus artificiellement auparavant).