Séminaires

We consider the real hyperbolic space $H^n(R)$ as the symmetric space $\operatorname{Spin}_0(1, n) / \operatorname{Spin}(n)$.
We prove that the Poisson transform is an isomorphism between the space of $L^2$-spinors on the unit sphere $S^{n-1}$ and a certain weighted $L^2$-space consisting of joint eigenspinors on $H^n(R)$. For this purpose, we prove a Fourier restriction estimate and an asymptotic formula for the Poisson transform.
As a consequence we prove a characterization for the generalized spectral projections.
This is a joint work with A. Boussejra.

Nous étudions la taille des ensembles de points dans l’intervalle unitaire dont les orbites sous les systèmes dynamiques x2 et x3 tombent simultanément dans une famille donnée de boules rétrécissantes (cibles rétrécissantes). Une loi zéro-un pour la mesure de Lebesgue de tels ensembles est établie. La formule des dimensions de Hausdorff est également obtenue lorsque les rayons des boules diminuent de façon exponentielle. Nous soulignons qu’une partie de la formule dimensionnelle est établie en admettant la fameuse conjecture abc. Il s’agit d’un travail en collaboration avec Bing Li, Sanju Velani et Evgeniy Zorin.

Let $G$ be a finite pseudo-reflection group and $\Omega$ be a bounded domain in $\mathbb C^d$ which is $G$-invariant. The quotient domain $\Omega/G,$ is biholomorphically equivalent to a domain ${{\boldsymbol \theta}} (\Omega)$ where ${{\boldsymbol \theta}} : \Omega \to {{\boldsymbol \theta}}(\Omega)$ is a basic polynomial map. Prominent example of a quotient domain is the symmetrized polydisc $\mathbb G_d$ in $\mathbb C^d.$ In this case, the basic polynomial map is given by $z \to (s_1(z), s_2(z), \cdots s_d(z))$ from $\mathbb D^d$ (unit polydisc in $\mathbb C^d$) to $\mathbb G_d$ where $s_j(z)$ is the $j$-th elementary symmetric polynomial. We study properties of Toeplitz operators on weighted Bergman spaces on ${{\boldsymbol \theta}}(\Omega)$ by establishing a connection of them with Toeplitz operators on weighted Bergman spaces on $\Omega.$ Results on zero product problem and commuting pairs of Toeplitz operators will be explained. Representation theory of $G$ and projections to isotypic components play an important role in our results. (Joint work with Gargi Ghosh)

Les suites de Bernstein-Gelfand-Gelfand trouvent leur origine en théorie des représentations des groupes de Lie semi-simples. Divers travaux leur ont ensuite donné une interprétation géométrique comme suite d’opérateurs différentiels sur certains espaces homogènes. Ce point de vue a permis à Čap, Slovák et Souček de les généraliser aux variétés possédant une géométrie parabolique au sens de Cartan. Ces variétés étant naturellement filtrées, des travaux récents de Dave et Haller ont montré que les suites d’opérateurs BGG satisfaisaient une certaine forme de la condition de Rockland (une extension de l’ellipticité pour les opérateurs pseudodifférentiels).

Dans cet exposé nous étendons la construction d’opérateurs de type BGG aux variétés feuilletés admettant une géométrie parabolique transverse. Nous définissons une condition de Rockland transverse adaptée à ces variétés et montrons que le complexe de de Rham tordu et les suites d’opérateurs BGG satisfont cette condition.

A set of integers greater than 1 is primitive if no member in the set divides another. Erdős proved in the 1930s that the sum of 1/(a log a), ranging over a in A, is uniformly bounded over all choices of primitive sets A. In the 1980s he asked if this bound is attained for the set of prime numbers. In this talk we describe recent work which answers Erdős’ conjecture in the affirmative. We will also discuss applications to old questions of Erdős, Sárközy, and Szemerédi from the 1960s.

Dans cet exposé, nous allons explorer certains chemins polygonaux, que nous appelons les  »chemins de Legendre »,  et qui encodent des informations sur les valeurs du symbole de Legendre modulo un nombre premier p. Plus précisément, le chemin de Legendre modulo p est défini comme étant le chemin polygonal dont les sommets sont aux points (j, S_p(j)) pour 0≤j≤p-1, où S_j(p) est la somme (normalisée) des valeurs du symbole de Legendre (n/p) pour n entre 0 et j. En effet, nous allons considérer les questions suivantes lorsqu’on varie le premier p : Quelle proportion du chemin est au dessus de l’axe des x ? Comment se comportent les pics de ces chemins ? Et finalement est ce que ces chemins possèdent une loi limite lorsque p→+∞? Nous allons découvrir que certaines de ces questions correspondent à des problèmes importants en théorie analytique des nombres, tels que l’étude de la taille du plus petit non-résidu quadratique, ainsi que du maximum des sommes de caractères de Dirichlet (dans l’esprit de l’inégalité de Pólya-Vinogradov). Parmi nos résultats, nous démontrons que lorsque le premier p varie entre Q et 2Q et Q →+∞, ces chemins convergent en loi, dans l’espace de Banach des fonctions continues sur [0,1], vers une certaine série de Fourier aléatoire dont les coefficients sont construits en utilisant les fonctions multiplicatives aléatoires de Rademacher. Ce dernier résultat est obtenu en collaboration avec Ayesha Hussain.

A lattice point $P\in\mathbb{Z}^k$ $(k\geq 2)$ is said to be visible if there is no other lattice point lying on the line segment joining $P$ and the origin. We study the distribution of generalized visible points (along curves) in random walk paths on $\mathbb{Z}^k$. This a joint work with Meijie Lu and Xianchang Meng.