Séminaires

Les bases cristallines ont été introduites en 1990 par Kashiwara. Ses motivations provenaient de calculs dans la théorie des systèmes intégrables sur réseaux suivant une méthode initiée par Baxter. Heuristiquement, ces calculs se simplifient et deviennent praticables lorsque la température absolue tend vers 0 et que les systèmes « cristallisent ». Les bases cristallines sont des bases très spéciales des algèbres enveloppantes quantiques de Drinfeld et Jimbo, qui deviennent des objets purement combinatoires lorsque le paramètre quantique q tend vers 0. Elles ont permis de résoudre des questions importantes de théorie des représentations. En 1993 Berenstein et Zelevinsky ont commencé à explorer les propriétés multiplicatives de la base cristalline supérieure. Ils ont proposé une conjecture étonnante: si deux éléments de cette base q-commutent, leur produit appartient à la base. En 2001, après avoir découvert des contre-exemples, j’ai proposé une version corrigée de cette conjecture dans laquelle on rajoute l’hypothèse que l’un des deux éléments est « réel », c’est-à-dire que son carré appartient à la base. La conjecture corrigée a été démontrée par Kang-Kashiwara-Kim-Oh en 2018 en utilisant une catégorification des éléments de la base cristalline par des modules simples sur une algèbre de Hecke-carquois.

Après une introduction aux bases cristallines et à la conjecture de Berenstein-Zelevinsky, j’expliquerai les grandes lignes de la preuve de Kang-Kashiwara-Kim-Oh.

We re-visit Imbert’s theorem stating that Thompson’s group T is isomorphic to the universal Ptolemy group.  After interpreting this result in terms of bipartite Farey tree and continued fractions, we present an extension of the above result to Thompson’s group V. If time permits we discuss further generalizations.

Séminaire commun avec l’équipe Probabilités et Statistique.

Le lemme de Hensel pour les fonctions polynomiales $p$-adiques $f: \mathbb{Z}_p\rightarrow \mathbb{Z}_p$ permet de déduire l’existence d’une solution de $f(x)=0$ à partir de l’existence d’une solution approchée. E. Y. Axelsson et A. Khrennikov (2016) ont étendu le lemme de Hensel aux fonctions $1$- et $p^\alpha$-Lipschitz et ont posé la question concernant une généralisation de leur résultat aux fonctions continues $p$-adiques générales. L’objet de cet exposé est de présenter cette généralisation, obtenue dans un travail récent en collaboration avec H. Kaneko.

Les intégrales orbitales jouent un rôle fondamental dans la formule des traces de Selberg et dans l’approche d’Harish-Chandra de la formule de Plancherel. Dans cet exposé, j’expliquerai une formule géométrique obtenue en collaboration avec Bismut pour les intégrales orbitales semi-simples associées à tous les éléments du centre de l’algèbre enveloppante. Si le temps le permet, j’aborderai également une application sur la théorie de K-type minimal de Vogan, ce qui constitue un travail en cours avec Y. Song et X. Tang.

Quatre exposés des équipes ATN et Géométrie, et de la bonhomie.

Les propriétés des chiffres des nombres premiers et de diverses autres suites de nombres entiers ont suscité beaucoup d’intérêt ces dernières années. Pour tout nombre entier naturel $k$, nous notons $\overleftarrow{k}$ le miroir de $k$ en base 2, défini par
$$
\overleftarrow{k} = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_j\,2^{n-1-j}
\quad
\mbox{ où }
\quad
k = \sum_{j=0}^{n-1} \varepsilon_{j} \,2^j
$$
avec $\varepsilon_j \in \{0,1\}$, $j\in\{0, \ldots, n-1\}$, $ \varepsilon_{n-1} = 1$. Une question naturelle est d’estimer le nombre de nombres premiers $p\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $\overleftarrow{p}$ est également premier. Nous présenterons un résultat fournissant une majoration de l’ordre de grandeur attendu. Notre méthode est fondée sur une technique de crible. Elle nous permet aussi d’obtenir une bonne minoration du nombre de nombres entiers $k$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ ont au plus 8 facteurs premiers (comptés avec multiplicité). Enfin, nous présenterons une formule asymptotique pour le nombre de nombres entiers $k\in \left[2^{n-1},2^n\right[$ tels que $k$ et $\overleftarrow{k}$ sont sans facteur carré.

Il s’agit d’un travail en commun avec Cécile Dartyge, Bruno Martin, Joël Rivat et Igor Shparlinski.

Je commencerai par discuter brièvement l’analyse semi-classique pour introduire le concept de limites quantiques. Après cela, je donnerai un aperçu de la géométrie sous-Riemannienne et les récents développements en géométrie spectrale dans ce contexte, surtout en ce qui concerne les limites quantiques.

Avec Hadi Salmasian, nous avons récemment obtenu une classification des paires duales réductives irréductibles dans le supergroupe de Lie orthosympléctique, ainsi qu’une généralisation du théorème de double commutant pour l’algèbre de Weyl Clifford. En particulier, cela nous donne la dualité de Howe lorsque l’action du supergroupe (G, g) est semisimple. 

Je commencerai mon exposé par un (long) rappel sur la correspondance de Howe classique pour la représentation métapléctique et spinorielle (travail en commun avec Clément Guérin et Gang Liu), avant de présenter les résultats obtenus pour les supergroupes/superalgèbres.

Soient $N\geq 1$ et $\chi_1,…,\chi_N$ des caractères de Dirichlet primitifs, pairs et deux à deux distincts, de conducteur $q_1$, …, $q_N$ respectivement. Posons

\[F(s):=\sum_{j=1}^N c_j\varepsilon_jq_j^{s/2}L(s,\chi_j),\]

où $(\varepsilon_j)$ sont des complexes de module 1 tels que $F$ satisfasse une équation fonctionnelle et $c_j\in\mathbb R^*$. Nous distinguons les zéros de $F$ en deux catégories : des zéros dits triviaux, impliqués par cette équation fonctionnelle, et des zéros dits non-triviaux, confinés dans une bande verticale $V$. Nous notons $N(T)$ le nombre de zéros de $F$ dans le rectangle $\{z\in V:\Im(z)\in[0,T]\}$ et $N_0(T)$ le nombre de ces zéros étant sur la droite critique.

A la fin des années 90, Selberg donna les grandes lignes d’un raisonnement prouvant qu’une proportion positive de zéros non-triviaux de $F$ sont sur la droite critique, en établissant que

\[\kappa_F:=\liminf_T\frac{N_0(2T)-N_0(T)}{N(2T)-N(T)}\geq \frac c{N^2}\]

pour un $c>0$. Nous proposons alors d’améliorer et d’expliciter cette minoration, en démontrant en particulier que

\[\kappa_F\geq \frac{2.16\times 10^{-6}}{N\log N},\]

pour tout $N$ assez grand.