Séminaires

We study the behaviour of the spectrum of the spin Dirac operator on degenerating families of Riemannian surfaces, when the length of a simple closed geodesic shrinks to zero. We work under the hypothesis that the spin structure along the pinched geodesic is non-trivial. It is well-known that the spectrum of an elliptic differential operator on a compact manifold varies continuously under smooth perturbations of the metric. The difficulty of our problem arises from the non-compactness of the limit surface, which is of finite area with two cusps.

Dans cet exposé, nous présenterons une méthode simple et efficace, qui a ses origines dans les travaux de Baker et Montgomery, et qui permet de produire des changements de signe de sommes de certaines fonctions multiplicatives réelles. Nous illustrons ensuite deux applications aux sommes de caractères de Dirichlet quadratiques ainsi qu’aux sommes de fonctions multiplicatives aléatoires de Rademacher. Ceci est basé sur un travail en commun avec O. Klurman et M. Munsch.

In 1964, Hooley proved that for an irreducible polynomial $p$ in $\mathbb{Z}[x]$, the ratios $v/n$ for $v$ roots of the polynomial $p$ modulo $n$, are equidistributed modulo $1$. We prove joint equidistribution of these roots of polynomial congruences and polynomial values. As part of the proof, we generalize a result of Montgomery and Vaughan regarding exponential sums with multiplicative coefficients to the setting of Weyl sums.

Selon une conjecture de Bernstein et Schwarzman, le quotient d’un espace affine complexe par un groupe cristallographique irréductible engendré par des réflexions est un espace projectif à poids. La conjecture fut démontrée par Schwarzman et Tokunaga-Yoshida pour presque tous tels groupes en dimension 2, et par Looijenga, Bernstein-Schwarzman et Kac-Peterson pour ceux de type Coxeter en toute dimension.

Dans cet exposé je présenterai un travail en commun avec Dimitri Markushevich dans lequel nous démontrons la conjecture pour l’unique groupe cristallographique engendré par des réflexions en dimension 3 dont la partie linéaire est le groupe simple de Klein, selon la classification de Popov. La preuve repose sur le calcul de la fonction de Hilbert de l’algèbre des invariants des fonctions thêta. Depuis la publication de notre travail, Rains a proposé une approche de la conjecture en toute généralité.

La fonction Delta d’Erdős-Hooley mesure la concentration des diviseurs d’un entier dans un intervalle dyadique. Récemment, Ford Koukoulopoulos et Tao ont amélioré l’encadrement de l’ordre moyen de cette fonction dû à Hall et Tenenbaum. Nous expliquerons les idées nouvelles de ces auteurs et expliquerons comment dans un travail en collaboration avec Gérald Tenenbaum nous avons précisé leur encadrement.

A plasmon of a bounded domain $\Omega\subseteq\mathbb R^n$ is a nontrivial bounded function on $\mathbb R^n\setminus \partial \Omega$ which is continuous at $\partial \Omega$ and whose interior and exterior normal derivative at $\partial \Omega$ have a constant ratio.
This ratio is called a plasmonic eigenvalue of $\Omega$.

Our longterm term goal is to understand this problem on a manifold with fibered cusp singularities. A prototypical example would be the complement of two touching strictly convex domains in $\mathbb R^n$.
The problem requires a precise analysis of the Dirichlet-to-Neumann operator in this setting. In a first step, we consider the Calderón projector for general elliptic differential operators of arbitrary order associated with this type of singularity, so-called $\phi$-differential operators. We show that the Calderón projector is a $\phi$-pseudodifferential operator in the sense of Mazzeo and Melrose. Next we study the Dirichlet-to-Neumann operator for Laplacians associated with fibered cusp metrics and obtain that it also is a $\phi$-pseudodifferential operator of order one.

This is a report on ongoing work with Karsten Fritzsch and Daniel Grieser.

Dans un travail en commun avec Régis de La Bretèche et Daniel Fiorilli, on considère certains moments pondérés correspondant à la distribution des substitutions de Frobenius dans les classes de conjugaison des groupes de Galois d’extensions normales des rationnels. La question s’inspire de résultats de Hooley et de progrès récents de La Bretèche–Fiorilli concernant les moments de la distribution des nombres premiers en progression arithmétique. Tout comme dans ces travaux antérieurs, nos résultats sont conditionnels à GRH et confirment que les moments considérés devraient être gaussiens. Si le temps le permet, nous mentionnerons une autre notion de moments pour laquelle certaines structures de groupes de Galois excluent un comportement gaussien.