Séminaires

Eta-theta quotients show up in numerous areas of mathematics and physics, as in string theory, the theory of black holes and the theory of theta blocks. In my talk I am going to talk about a joint project with Joshua Males, where we employ a variant of Wright’s Circle Method to determine the bivariate asymptotic behavior of Fourier coefficients for a wide class of eta-theta quotients with simple poles in the upper half-plane.

Dans un travail récent avec Sandro Bettin (Gênes) nous étudions dans un cadre général les applications $f:{\mathbb Q}\to{\mathbb C}$ qui satisfont des relations fonctionnelles du type suivant: pour tout $\gamma \in{\rm SL}(2,{\mathbb Z})$, la différence $h_{\gamma}(x) := f(\gamma x) – |cx + d|^{-k} f(x)$ est régulière en un certain sens. Ici $k$ est un nombre complexe. Les exemples naturels incluent notamment les intégrales d’Eichler de formes modulaires ou de formes de Maass, ou encore des sommes de cotangentes.
On s’intéressera plus particulièrement au cas $k\neq 0$, et à l’existence de fonctions limites permettant de prédire la répartition des valeurs prises par f sur des rationnels dont le dénominateur tend vers l’infini.

A lattice point $P\in\mathbb{Z}^k$ $(k\geq 2)$ is said to be visible if there is no other lattice point lying on the line segment joining $P$ and the origin. We study the distribution of generalized visible points (along curves) in random walk paths on $\mathbb{Z}^k$. This a joint work with Meijie Lu and Xianchang Meng.

L’équation d’Einstein peut être obtenue comme le système d’équations d’Euler-Lagrange associées au Lagrangien d’Hilbert-Einstein, qui est essentiellement la courbure scalaire. Le tenseur de courbure, et donc l’équation d’Einstein, peut être construit et étudié sur le fibré des repères de l’espace-temps. Nous présenterons un Lagrangien sur une variété de dimension 10 dont les solutions aux équations d’Euler-Lagrange équipent la variété d’une structure qui est presque celle de l’espace des repères d’une variété d’Einstein. Ceci nous mènera à introduire une structure qui généralise celle des espaces de repères munis d’une connexion principale.

Bourgain (2015) a estimé le nombre de nombres premiers avec une
proportion positive de chiffres préassignés en base 2. Nous
rappellerons tout d’abord une généralisation de ce résultat à toute
base $g\geq 2$. Nous présenterons ensuite un résultat plus récent pour
l’ensemble des carrés. Plus précisément, pour toute base $g\geq 2$,
nous obtenons une formule asymptotique pour le nombre de carrés avec
une proportion $c>0$ (explicite) de chiffres préassignés.

Notre preuve suit principalement la stratégie développée par Bourgain
pour les nombres premiers en base 2, avec de nouvelles difficultés
pour les carrés. Elle est fondée sur la méthode du cercle et combine
des techniques d’analyse harmonique avec les propriétés arithmétiques
des carrés et des majorations des sommes de Weyl quadratiques.

Les groupes quantiques compacts de matrices sont des généralisations des groupes de Lie compacts dans le contexte de la géométrie non-commutative. Malheureusement, il leur manque certains aspects fondamentaux des groupes classiques, et notamment un analogue de l’algèbre de Lie qui permettrait de définir une structure Riemannienne. Cela dit, on peut aussi retrouver cette structure de façon probabiliste à l’aide du mouvement Brownien. Je présenterai quelques travaux montrant comment cette approche probabiliste peut s’étendre au cadre quantique et éclairer le problème de la structure géométrique de ces groupes quantiques.

Soit $\varepsilon >0$. Soit $f$ une fonction multiplicative de Steinhaus ou Rademacher. Dans cet exposé nous montrons que presque sûrement
$$ \sum_{n \leqslant x} f(n) \ll \sqrt{x} (\log_2 x)^{\frac{1}{4}+ \varepsilon} $$
lorsque $x \to +\infty$. Grâce à la minoration de Harper, cela donne un majorant optimal des fluctuations de la quantité $\sum_{n \leqslant x} f(n)$ lorsque $x$ est très grand.