Groupe de travail des doctorants

Journée conviviale d’exposés mathématiques pour les doctorant.e.s de l’IECL.

Les exposés auront lieu en salle de conférence et les pauses en salle 313.

Programme de la journée :

• • 9h00 – 9h30 : Petit déjeuner

• • 9h30 – 10h10 : Exposé de Sophie Baland
    
    Un modèle de branchement pour la dynamique des longueurs de télomères dans les cellules sanguines.

    Dans les domaines de la biologie et de la médecine, la modélisation mathématique du développement cellulaire reste primordiale à étudier.

    Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux télomères : ces petites structures situées aux extrémités des chromosomes eucaryotes et qui possèdent un rôle de capuchon protecteur permettant de préserver l’intégrité du génome.

    Dans une première partie, j’aborderai la structure et les fonctions des télomères, leur rôle dans les processus de vieillissement ainsi que dans les maladies résultant d’une modification de leur longueur, élément déterminant dans leur bon fonctionnement. De plus, je présenterai brièvement deux mécanismes biologiques : le processus de réplication de l’ADN et l’hématopoïèse, qui est le processus de fabrication des cellules sanguines, afin d’introduire les notions nécessaires à la compréhension d’un modèle décrivant la dynamique des longueurs de télomères.

    Dans une seconde partie, j’introduirai un modèle de branchement, qui va permettre de comprendre le mécanisme de l’hématopoïèse et qui reproduit les comportements des cellules lors de divisions cellulaires, en tenant compte de la longueur de leurs télomères. Il s’agit d’un modèle stochastique d’évolution d’une population de cellules et de leurs chromosomes, faisant intervenir plusieurs facteurs tels que l’attrition télomérique, l’action de la télomérase, les phénomènes d’autorenouvellement, de différenciation, et de mort cellulaire. Je présenterai ensuite deux résultats : le premier, appelé loi des grands nombres, lié au comportement du modèle en grande population, et le second, portant sur l’étude des fluctuations du modèle.

• • 10h15 – 10h55 : Exposé de Léo Delage
    
    Intro to graphs of groups.

    Groups acting on trees is a foundational topic in geometric group theory and topology, with an incredibly wide range of applications (graphs of spaces, JSJ theory, Outer spaces…) and generalizations (word-hyperbolic groups, CAT(0) cube complexes, real trees…). In this talk, I will sketch the classical correspondence between group actions on (simplicial) trees and the associated orbifold-like structures called graphs of groups that play the role of a quotient space. Some of my favorite examples will be provided.

• • 10h55 – 11h10 : Pause café

• • 11h10 – 11h50 : Exposé de Mabrouk Ben Jaba
    
    The human lung : an impossible-to-model organ ?

    The lung constitutes an essential exchange interface between ambient air and blood, playing a crucial role in the oxygenation of the latter and the elimination of carbon dioxide. Understanding its functioning therefore represents a major challenge.

    Various mathematical models have been developed to study its mechanisms, some involving complex partial differential equations. An alternative approach consists in considering models that integrate the bronchial tree as a whole, which is the perspective adopted here.

    Our approach is based on the hypothesis that gas exchanges are optimized to maximize the efficiency of the lung, in accordance with principles such as the theory of evolution. To explore this hypothesis and assess this optimality principle, we propose a model based on ordinary differential equations describing the evolution of oxygen concentration in the lung and its transport. Within this framework, we introduce, analyze, and study an optimal control problem aimed at characterizing the dynamics of the respiratory cycle.

• • 11h50 – 14h00 : Buffet déjeuner

• • 14h00 – 15h00 : Exposé de Aurélien Minguella
    
    The cutoff phenomenon for the Brownian motion on the torus.

    The cutoff phenomenon occurs in the study of the convergence of ergodic Markov chains towards their invariant measure. For a large class of these objects, we can expect that, when a size parameter (dimension, number of objects) becomes asymptotically large, convergence occurs abruptly. The aim of this presentation is to give an example of a natural Markov chain for which this phenomenon is relatively easy to prove.
    After reviewing discrete-time Markov chains, we will present their continuous-time counterparts. We will then define the Brownian motion on the torus and see how it fits into this framework. The end of the presentation will be devoted to concluding the proof of the cutoff.

• • 15h05 – 15h45 : Exposé de Marie Dautheville
    
    A quick tour inside the p-adic world

    The aim of this talk is to provide an introduction to several objects involved in the representation theory of p-adic groups, while keeping the presentation accessible to a broad audience. It will be divided into three parts. The first part will be devoted to the construction of the p-adic numbers, which form a totally disconnected number field that can be of characteristic zero or p, where p is a prime number. We will see some properties of this field and its ring of integers. Unlike the real numbers, compact subsets of \mathbb{Q}_p or \mathbb{F}_p((t)) can be both compact and open—this is the case, for instance, for the unit ball in \mathbb{Q}_p. This major difference leads us to the second part, concerning p-adic groups. In contrast with real Lie groups, p-adic groups may have several conjugacy classes of maximal compact subgroups. This section will be illustrated with examples of classical matrix groups. Finally, in the third part, we will briefly discuss representations of p-adic groups through the study of unramified characters of a group. We will determine those of SL(n, \mathbb{Q}_p) and, if time allows it, i will conclude by comparing the tempered duals of SL(2, \mathbb{Q}_p) and SL(2, \mathbb{R}).

• • 15h45 – 16h00 : Pause café – goûter

Le programme détaillé de l’événement sera communiqué ultérieurement

Le lieu d’annulation d’un polynôme en plusieurs variables peut être abordé sous plusieurs angles : l’étude de sa topologie et des ses points à coefficients entiers ou modulo p. Cela fournit donc des exemples d’espaces topologiques intéressants et permet en même temps d’aborder les équations arithmétiques sous un angle plus géométrique.

Nous chercherons dans un premier temps à voir pourquoi ces objets ont une topologie riche et restrictive, puis nous montrerons à travers un cas simple des conjectures de Weil comment la structure topologique restreint des données arithmétiques. Les bons objets derrière ce phénomène seront les motifs de Chow.

Les images numérisées sont généralement dégradées suite au processus d’acquisition ou de transmission. Quand la précision est cruciale, par exemple pour établir un diagnostique médical, il est préférable de filtrer ce bruit.

L’exposé porte sur un algorithme de filtrage du bruit reposant sur la dualité (Chambolle, 2004). L’information est extraite en minimisant une fonction construite afin de filtrer le bruit sans trop compromettre la netteté des contours de l’image sous-jacente.

Après avoir introduit la modélisation des images, la discussion s’articulera autour de trois outils : la variation totale, la conjuguée convexe et les sous-gradients. L’objectif est d’expliquer comment ils peuvent offrir un point de vue fructueux sur un problème d’optimisation. Si vous n’êtes pas convaincus, on me dit dans l’oreillette qu’il y aura moultes illustrations et animations !

Dans cet exposé nous regarderons l’apparition de la fonction exponentielle dans les ouvrages de Cauchy et discuterons, textes historiques à l’appui des critères de Cauchy, D’Alembert et d’Hadamard. Ce sera l’occasion de regarder quelques démonstrations d’analyse du 18-19ième siècle. La fonction exponentielle sera caractérisée via sa propriété de morphisme continu, comme l’a fait Cauchy dans son « Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique » paru en 1821. Son développement en série entière sera mis en lumière également par des textes d’époque. La suite de l’exposé est de constater l’émergence de la série exponentielle dans le contexte matriciel, puis dans le contexte des algèbres de Banach.  Dans la première moitié du 20-ième siècle, la norme matricielle de Frobenius,  sous-multiplicative, joue un rôle catalyseur poussant les mathématiciens comme Nagumo, Yosida, D.S. Nathan… puis Gelfand à étudier des structures algébriques générales – des C-algèbres (unitaires) – munies d’une norme sous-multiplicative rendant complet l’espace vectoriel sous-jacent : c’est l’émergence de l’étude des anneaux normés complets, connus aujourd’hui sous le nom d’algèbres de Banach. Toujours sous le prisme d’articles d’époque, nous donnerons quelques formules bien connues sur l’exponentielle, les sous-groupes à un paramètres fortement continus, et terminerons par la formule de Lie-Trotter dans le contexte des algèbres de Banach.

Les systèmes de Prony sont apparus dans de nombreux articles scientifiques issus de différents domaines sans que leur résolution ne devienne un classique en calcul scientifique. Cet exposé vise à mettre en avant ces systèmes en donnant deux applications (l’une en introduction pour motiver leur étude et l’autre en ouverture à la fin de l’exposé) ainsi qu’une étude de leurs principales propriétés. Un bon niveau licence est suffisant pour mener (et, je l’espère, apprécier) cette dernière. Des éléments de résolution numérique seront également présentés.

L’analyse topologique des données (Topological Data Analysis : TDA) est un domaine à l’intersection de la statistique et de la topologie algébrique qui a émergé au début des années 2000.

L’objectif est de tirer de nouvelles informations dans les données, en s’intéressant à des aspects géométriques et topologiques dans leur structure. Le cadre usuel consiste à étudier la structure d’un nuage de points, c’est-à-dire un ensemble de points dans un espace métrique, et un des outils le plus utilisé pour cela est ce qu’on appelle l’homologie persistante.

Dans cet exposé nous commencerons par introduire de manière pédagogique l’homologie persistante, puis nous discuterons de ces applications possibles dans un problème de neurosciences.

Cet exposé tourne autour de trois problèmes distincts mais fortement reliés. Tout d’abord, l’étude de la limite hydrodynamique de systèmes de particule soumises à des dynamiques de branchement et de sélection, qui est la question centrale que je me suis posée pendant ma thèse.

Ensuite, les équations de réaction-diffusion faisant intervenir une frontière libre contrôlant la masse totale, connus depuis une vingtaine d’année pour être reliés aux systèmes de particule en interactions.

Et enfin, le problème inverse du premier temps de passage pour un processus markovien, que l’on peut interpréter comme une reformulation probabiliste des problèmes à frontière libre.

Mon but sera de vous présenter ces trois problèmes et de vous expliquer l’état de la littérature sur ce qui les relient.

A first simplification of the gene expression mechanism considers that a gene is transcribed into messenger RNA, which in turn is translated into protein. Single-cell data have revealed the presence of biological variability between cells of identical genome and environment, highlighting not only epigenetic aspects but also the stochastic nature of gene expression.

In the context of regulatory networks underlying cell states and types, we need to build a model that takes into account both stochasticity and the interaction of genes with each other. Here we focus on a dynamical model of gene expression, formulated as a piecewise-deterministic Markov process (PDMP) and describing an arbitrary number of interacting genes. This stochastic model is able to reproduce the biological variability measured experimentally, but remains mathematically complex and difficult to study. This is why, in the litterature, a simplified model with only proteins is considered. 

During this talk, we provide insights on construction and use of semigroups and infinitesimal generators for PDMPs. Afterwards we present both models and use coupling methods to explicitly upper bound the error made when substituting the full model with its simplified version.