Groupe de travail des doctorants

La théorie des représentations a été introduite vers la fin de XIXe siècle par le mathématicien allemand
Frobenius, motivé par une lettre de Dedekind. Cette théorie a connu un développement considérable depuis,
et vouloir essayer de résumer cette dernière relèverait de la folie. Le but des présentations que je vais
faire est de donner quelques idées sur ce qui peut se faire, et mettre en avant certains des nombreux
problèmes qu’il reste actuellement au sein de cette magnifique théorie. Pour cette première présentation,
je commencerai par rappeler les fondamentaux de la théorie des représentations linéaires des groupes finis.
Ensuite, on étudiera ensemble un exemple très intéressant, à savoir le groupe symétrique. Le but étant de
déterminer explicitement le dual unitaire dans ce cas. Si le temps le permet, je conclurai par une présentation
très rapide de la dualité de Schur-Weyl, ce qui nous permettra de voir un exemple où les représentations du
groupe symétrique apparaissent explicitement.

L’approximation des équations aux dérivées partielles est un domaine mathématique lié à de nombreuses autres
sciences. Pour cette raison il est important de tenir compte des contraintes que ces autres domaines
apportent. Après une première partie dans laquelle j’introduirais l’approximation des EDP, je parlerais des
différences finies. Les méthodes de différences finies sont historiquement les premières méthodes a avoir été
développées. Après en avoir énoncé quelques résultats théoriques et présenté quelques schémas classiques, dans
une troisième partie, nous constaterons des limites de ces méthodes et nous proposerons quelques améliorations.

J’introduirai dans cette exposé la méthode des chemins de Littelmann qui permet notamment de
décomposer en irréductible la tensorisation de deux représentations pour une algèbre de Lie simple.
On verra des exemples simples. Si le temps le permet je donnerai des résultats sur les représentations
usuelle de su(n) sur les formes totalement antisymétrique et totalement symétrique.

La notion de racine dans le cas des algèbres de Lie semi-simples est une notion
centrale. Elle est primordiale, par exemple, pour la classification et les
représentations des ces dernières. Le but de cette présentation est de donner un
analogue de ces systèmes dans le cas des superalgèbres de Lie. L’idée sera de
commencer par des rappels concernant la théorie des algèbres de Lie, de redonner par
la suite quelques définitions et propriétés élémentaires des superalgèbres de Lie puis
de présenter la généralisation de la notion de racines pour ces dernières. Si le
temps le permet, on appliquera cela dans un cas concret, à savoir la superalgèbre de
Lie générale linéaire, puis on mettra en évidence l’importance des racines dans la
théorie des représentations des superalgèbres de Lie.