Groupe de travail des doctorants

Tout d’abord, étant donné un nombre $qinmathbb{C}^*$ (tel que $q^2neq -1$) on donnera la définition classique de $SL_q(2)$ en tant qu’algèbre de Hopf.

Le but de cet exposé est de donner une motivation de cette définition à partir de la théorie des noeuds. Pour cela, on commencera par rappeler quelques notions élémentaires de la théorie des noeuds en donnant une version simple et adaptée du polynôme de Jones. Ensuite, on décrira de façon succincte une méthode de manipulation des noeuds en associant des matrices à chaque « minimum » , « maximum » ou croisement du noeud (emph{méthode qui s’inspire de la théorie quantique des champs}). Ainsi, la version adaptée du polynôme de Jones que l’on a construit au début pourra être modélisée en termes de matrices, ce qui nous permettra de conclure la construction du groupe quantique $SL_q(2)$.

Cet exposé tout public sera l’occasion d’introduire la notion probabiliste de couplage, et de la mettre en place pour étudier le KDEM (kinetic dietary exposure model) introduit par Bertail, Clémençon et Tressou en 2008. Nous verrons comment ce modèle de pharmacocinétique, ou contamination alimentaire, se modélise par un processus de Markov déterministe par morceaux, et comment on peut obtenir des estimés sur sa vitesse de convergence vers une mesure stationnaire.

Qui des deux jumeaux, de celui qui reste sur terre ou de celui qui voyage à grande vitesse, vieillit le plus vite? Le chat de Schröndiger est-il mort ou en vie? Les objets quantiques sont-ils des ondes ou des particules? Pourquoi ne peut-on pas connaître à la fois la vitesse et la position d’un objet quantique? L’intuition et le langage naturels semblent impuissants face à ces questions et l’utilisation des mathématiques semblent incontournables. Je vous propose donc de découvrir, ou de redécouvrir, la théorie de la relativité restreinte et la mécanique quantique dont le mariage a donné naissance à la théorie des champs quantiques, le cadre formel du célèbre modèle standard de la physique des particules.

Je voudrais vous présenter dans cet exposé une notion très utilisée en géométrie asymptotique (Coarse Geometry) : les expanseurs.
Je partirai d’un problème concret de théorie des réseaux pour arriver à la notion d’expanseur. Nous exposerons ensuite quelques propriétés métriques remarquables de ces objets, notamment le fait qu’ils n’admettent pas de plongement uniforme dans l’espace de Hilbert, et les conséquences que cela a pour mon travail de thèse.

Dans cet exposé, je considérerai une équation cinétique collisionnelle qui dégénère en une équation de diffusion fractionnaire quand le nombre de Knudsen tend vers 0.
Cette limite est obtenue en considérant des particules dont l’équilibre est une fonction à décroissance polynomiale.

Dans cet exposé, je considérerai une équation cinétique collisionnelle qui dégénère en une équation de diffusion fractionnaire quand le nombre de Knudsen tend vers 0.
Cette limite est obtenue en considérant des particules dont l’équilibre est une fonction à décroissance polynomiale.

La classification de Killing-Cartan des algèbres de Lie complexes (semi-)simples implique aussi celle des algèbres de Lie réelles (semi-)simples ;
cependant ces dernières sont plus nombreuses.
Notamment il y a toujours une forme déployée ainsi qu’une forme compacte associées à chaque famille.
Après cette première partie, on va étudier la notion de graduation d’une algèbre de Lie, ainsi que deux graduations spécifiques :
les s-représentations et les graduations de Heisenberg.
Ces deux exemples permettent de construire bien explicitement la forme déployée et compacte d’une algèbre de Lie.

Lors de mon dernier exposé, j’avais présenté le théorème de dualité de Howe.
Ce dernier met en évidence une correspondance entre certaines représentations associées à une paire duale irréductible
(tilde{G}, tilde{G^{‘}}) dans le groupe métapléctique. Le but de cet exposé est d’obtenir une formule du caractère
pour les représentations pi^{‘} de tilde{G^{‘}} qui apparaissent dans la dualité dans le cas où le groupe tilde{G} est compact.
Pour cela, on commencera par quelques rappels assez généraux concernant la théorie des groupes de Lie compacts et de leurs représentations.
Ensuite, je présenterai la généralisation de la notion de caractère (en dimension infinie) établie par Harish-Chandra dans le milieu des années 50.
Je terminerai cette présentation par une détermination explicite des caractères dans la correspondance de Howe en utilisant les différents outils
vus précédemment.

Nous présenterons le formalisme hamiltonien de la mécanique classique, puis le formalisme, développé par Souriau, de la mécanique symplectique. La fin de l’exposé visera à introduire la mécanique quantique, via un exemple, et en insistant sur l’aspect historique.