Groupe de travail des doctorants

L’homologie persistante est un outil de la théorie simpliciale construit à la fin du XXième siècle et qui s’utilise principalement en Analyse Topologique des Données (TDA) et reconnaissance de forme. L’idée principale est d’extraire un nuage de points d’un objet que l’on souhaite étudier et de transformer ce nuage en un complexe simplicial filtré, en utilisant par exemple la méthode de Vietoris-Rips. Le but de l’homologie persistante est de calculer l’homologie simpliciale du complexe à chaque temps de filtration et d’observer les caractéristiques topologiques qui persistent au cours de la filtration. Cette approche permet d’encoder l’évolution topologique d’un objet à travers une seule structure algébrique. L’homologie persistante a des applications dans de nombreux domaines (en biologie, médecine, astrophysique,…) et dans cet exposé, après avoir défini l’homologie persistante en reprenant les bases de la théorie simpliciale, nous montrerons comment celle-ci peut s’appliquer dans le contexte de l’analyse musicale.

Les variétés de Siegel sont des variétés de Shimura qui paramètrent des variétés abéliennes avec une polarisation. Le premier exemple est la courbe modulaire dont l’importance est cruciale en théorie des nombres : elle intervient dans la preuve du théorème de Fermat-Wiles et plus généralement dans la correspondance de Langlands pour $GL_2$ sur $\mathbb{Q}$. Dans cet exposé, j’introduirai les variétés de Siegel en tant que variétés algébriques sur un corps fini et je décrirai les propriétés géométriques de certains fibrés vectoriels automorphes vivant dessus.

Les opérateurs de Schrödinger sont des incontournables dans la mécanique
quantique. J’exposerai d’abord des motivations physiques de l’étude
spectrale de ces objets. Plusieurs auteurs ont obtenu des bornes en
norme $L^p$ sur les quasi-modes des opérateurs de Schrödinger. On verra
ensuite comment se généralisent de telles estimées à des systèmes
orthonormés de fonctions. L’idée de l’exposé est de donner un avant-goût
des jolis outils sous-jacents.

Résumé à venir

In modern algebraic geometry, the study of moduli spaces plays a central role in the problem of classifying certain geometric objects (e.g., Riemann surfaces, vector bundles), up to a fixed notion of isomorphism. The foremost question arising is whether we can construct a moduli space which, roughly speaking, parametrizes the isomorphism classes of such objects. The moduli space will be endowed with a natural geometric structure, which is often a scheme or an algebraic stack. In this talk we give an introduction in the theory of moduli spaces, with special emphasis on some classical examples: the Grassmannian, the Hilbert scheme, the moduli space of sheaves etc.. We will formulate the moduli problems using the categorical language of representable functors, and introduce the notions of fine and coarse moduli spaces.