Groupe de travail des doctorants

On va évoquer le problème du partitionnement (« clustering ») d’un ensemble d’entités en K groupes avec un modèle statistique : peut-on discerner des groupes dans ces entités (par exemple des familles de gènes ou des régions du cerveau) de façon optimale, non-asymptotique, en grande dimension ? En étudiant l’estimateur classique des K-moyennes, on donne des éléments de réponse grâce au lien qu’il entretient avec l’optimisation convexe, ce qui permet aussi d’éclairer notre compréhension d’autres estimateurs comme les estimateurs spectraux.

Quelques références :
– Approximating K-means-type Clustering via Semidefinite Programming, Jiming Peng, Yu Wei, 2007
– PECOK: a convex optimization approach to variable clustering, F. Bunea, C. Giraud, M. R. and N. Verzelen, 2016

Le paludisme (malaria) est une maladie parasitaire, transmise par les
moustiques. Cette maladie est très dangereuse pour les populations vivant en zone d’endémie (zone intertropicale), l’est aussi pour les voyageurs. Vue le nombre de morts par an cette maladie reste un réel problème de santé publique mondial.

On cherche dans notre travail à étudier un modèle décrivant la propagation du paludisme au sein d’une population dont les individus (humains et moustiques) sont regroupés selon leur état: susceptibles, latents, infectés, guéris, sachant que les humains peuvent se déplacer entre différentes régions.
Il s’agira d’étudier les propriétés dynamiques d’abord du système dans un seul patch isolé puis celles du système obtenu en tenant compte des mouvements des hommes.

À toutes (C^*)-algèbres, on peut lui associer deux groupes (K_{0}(A)) et (K_{1}(A)), c’est ce qu’on appelle la K-théorie de (A).
On peut en savoir davantage sur la structure de (A) en calculant sa K-théorie. On peut même comparer deux (C^*)-algèbres en comparant leurs K-théorie. Calculer les 2 groupes de K-théorie est difficile, je présenterai le théorème de la suite exacte à six termes, permettant des calculs rapides sous certaines hypothèses. Je parlerai aussi de théorie de l’indice sur un espace de Hilbert mais aussi sur un module hilbertien.

Suivant les idées d’Arnol’d, Brenier a proposé en 1989 un modèle
variationnel en lien avec le transport optimal pour décrire l’évolution
d’un fluide incompressible et non-visqueux. L’équation d’Euler-Lagrange de
ce problème de minimisation peut-être interprété comme un système
d’équations aux dérivées partielles de type Vlasov, d’ores et déjà étudié
dans le cadre de la physique des plasmas (parfois sous le nom d’équation
d’Euler cinétique). Après avoir défini le modèle de Brenier et donné
certaines propriétés de ses solutions, nous verrons le type d’information
que l’on peut tirer de l’étude de l’équation d’Euler cinétique.

La théorie des algèbres d’opérateurs fut fondée en 1930 par John von
Neumann qui cherchait à formaliser mathématiquement la toute jeune
théorie de la mécanique quantique. L’idée est de remplacer l’algèbre
commutative des observables décrivant un système classique, par une
algèbre d’opérateurs sur un espace de Hilbert qui n’est plus
nécessairement commutative. Pour le physicien, la non-commutativité
encode alors les propriétés quantiques du système ainsi que sa
dynamique. Pour le mathématicien, elle est aussi la source de quantité
de phénomènes surprenants et de liens forts et féconds avec la théorie
ergodique, la théorie des groupes et de leurs représentations, la
topologie en basse dimension etc… Au cours de cet exposé, je donnerai
un petit aperçu de la théorie des algèbres de von Neumann et je
présenterai quelques résultats de recherche récents.

The objective of this work is the mathematical study for a Bresse system, consisting of coupled three wave equations in one dimensional open bounded domain. This system has its origin in the mechanics of structures and especially in the balance of elastic bars. We are interested in Bresse systems with three memories and three delays. The aim is the proof of the well-posedness and exponential stability of this system under some hypotheses.

L’exposé commencera par un bref rappel du formalisme de la mécanique quantique. Il traitera ensuite de la justification de la théorie de Gross-Pitaevskii à partir du problème à N corps. C’est une théorie effective qui est censée prévoir l’énergie fondamentale d’un gaz de bosons (dans un certain régime), son état fondamental et l’évolution de ce dernier au cours du temps. En particulier pour la dérivation de l’énergie, j’exposerai une méthode basée sur l’utilisation d’une version quantique du théorème de de Finetti.

Une carte est une structure combinatoire qui décrit le plongement d’un graphe sur une surface. Les cartes sont, de par leur structure très riche, des objets très importants en combinatoire énumérative. Elles sont également au croisement de plusieurs domaines des mathématiques (informatique graphique, physique théorique, géométrie algébrique), ce qui fait qu’elle ont été très étudiées dans les cinquante dernières années.
Après quelques principes de base de combinatoire énumérative, je présenterai quelques résultats standards de combinatoire des cartes. Je présenterai ensuite les liens entre les cartes et d’autres domaines des mathématiques, en me concentrant sur un exemple particulier : celui des limites de cartes aléatoires et leur lien avec la « gravité quantique 2D ». Si le temps le permet, j’expliquerai brièvement ce sur quoi je travaille, à savoir les liens entre les cartes et la hiérarchie KP.

Je parlerai des modèles espace-état où les observation sont multi-catégoricalles et longitudinales, et l’état est décrit par des modèles du type CHARN. Nous estimons l’état au moyen des récursivités de Kalman généralisées. Celles-ci reposent sur l’application d’une variété de filtres particulaires et de l’algorithme EM. Nos résultats sont appliqués à l’estimation du trait latent en qualité de vie. Ce qui fournit une alternative et une généralisation des méthodes existantes dans la littérature. Ces résultats sont illustrés par des simulations numériques et une application aux données réelles sur la qualité de vie des femmes ayant subi une opération pour cause de cancer du sein.

Travail réalisé conjointement avec Fabian Portmann et Jan Philip Solovej.