Groupe de travail des doctorants

A tout groupe de type fini, on peut associer un graphe, appelé graphe de Cayley. De cette façon, le groupe devient un espace métrique sur lequel il est possible de se promener. Dans cet exposé, on va s’intéresser aux liens entre marche
aléatoire sur ce graphe et propriétés (géo)métriques et algébriques du
groupe en question. On parlera d’un théorème de Polya, de géométrie à grande échelle et du paradoxe de Banach-Tarski, avec plein d’exemples : des groupes libres aux groupes abéliens en passant par les groupes d’allumeurs de réverbères.

Ces travaux, à la fois théoriques et numériques, portent sur la mise au point d’une méthode de calcul
rapide des effets des explosions aériennes en géométrie complexe. On se base pour cela sur des modèles
hyperboliques simplifiés de propagation d’ondes de choc du type Geometrical Shock Dynamics (GSD) et
Cinématique, où seul le front incident est modélisé (passage du 3D/5 équations pour les équations d’Euler au
2D/2 équations). L’analyse du problème de Riemann fait apparaitre une absence de solution pour le problème
de la diffraction d’un choc faible sur un coin convexe. Nous levons cette limitation au travers d’une extension
ad-hoc du modèle. L’effet de souffle consécutif à une explosion ponctuelle est ensuite introduit à partir d’une
loi pression/distance basée sur les résultats de simulations des équations d’Euler avec détonique. Un
algorithme lagrangien conservatif de suivi de front est développé en 2D. Des tests numériques montrent que
ce nouveau modèle se compare très favorablement à l’expérience, avec une réduction importante du temps
de calcul.

Le but de l’exposé est d’expliquer ce qu’est un groupe algébrique. L’exposé se veut accessible aux non-algébristes. Je commencerai par définir la topologie de Zariski sur un espace vectoriel, les variétés affines et les groupes algébriques. Je donnerai ensuite quelques exemples de ces objets et quelques propriétés. Si le temps le permet, je donnerai quelques exemples de variétés projectives qui interviennent dans le contexte des groupes algébriques réductifs (notamment les variétés de Schubert).

Le préconditionnement est couramment utilisé pour réduire l’effet des erreur numériques pour la résolution de systèmes linéaires.
Dans cet exposé nous proposons de l’utiliser pour stabiliser des schémas de résolution d’EDP paraboliques à l’aide de schémas type RSS.
Des applications de ce schémas sont données pour la résolution d’équations issues de la mécaniques des fluides (Équation de Navier-Stokes) mais aussi des équations utilisées en traitement des images (équations d’Allen-Cahn et Cahn-Hilliard).

Dans cet exposé, nous nous intéressons à la représentation et à la prise en compte des incertitudes dans les systèmes de prévision hydrologique probabilistes à moyen-terme. Ces incertitudes proviennent principalement de deux sources : (1) de l’imperfection des prévisions météorologiques (utilisées en intrant de ces systèmes) et (2) de l’imperfection de la représentation du processus hydrologique par le simulateur pluie-débit (SPQ) (au cœur de ces systèmes).

La performance d’un système de prévision probabiliste s’évalue par la précision de ses prévisions conditionnellement à sa fiabilité. L’approche statistique que nous suivons procure une garantie de fiabilité à condition que les hypothèses qu’elle implique soient réalistes. Nous cherchons de plus à gagner en précision en incorporant des informations auxiliaires.

Nous proposons, pour chacune des sources d’incertitudes, une méthode permettant cette incorporation : (1) un post-traitement des prévisions météorologiques s’appuyant sur la propriété statistique d’échangeabilité et permettant la prise en compte de plusieurs sources de prévisions, ensemblistes ou déterministes ; (2) un post-traitement hydrologique utilisant les variables d’état des SPQ par le biais d’un modèle Probit arbitrant entre deux régimes hydrologiques interprétables et permettant ainsi de représenter une incertitude à variance hétérogène.
Ces deux méthodes montrent de bonnes capacités d’adaptation aux cas d’application variés fournis par EDF et Hydro-Québec, partenaires et financeurs du projet. Elles présentent de plus un gain en simplicité et en formalisme par rapport aux méthodes opérationnelles tout en montrant des performances similaires.

Après avoir énoncé le formalisme des C*-algèbres commutatives en m’appuyant sur le cas simple de C_0(X) où X est un espace localement compact,
je donnerai un exemple de problème à N-corps quantique qui permet de construire une C*-algèbre dont nous déterminerons le spectre.
Il existe une action naturelle de R^n sur cette C*-algèbre. Si le temps me le permet, je donnerai des détails sur le spectre du produit
croisé de cette C^*algèbre par R^n.

La variété des caractères d’un groupe de type fini vers un groupe algébrique complexe est (à peu de choses près) l’ensemble des classes de conjugaisons de représentations de ce groupe de type fini vers le groupe algébrique complexe.
Cette variété peut avoir des singularités algébriques. Nous allons nous intéresser au cas où le groupe de type fini est un groupe libre ou un groupe de surface et le groupe algébrique complexe est PSL(p,C) avec p premier.
En particulier, nous montrerons que la classe de conjugaison d’une représentation irréductible dont le centralisateur est non-trivial est une singularité algébrique de la variété des caractères. Si le temps le permet, nous verrons des contre-exemples à cette propriété si l’on change le groupe de type fini.

Dans cet exposé, nous étudierons la notion de relation de dispersion, d’un point de vue physique, et mathématiques. Nous nous intéresserons plus particulièrement au cas des plasmas froids magnétisés à travers l’exemple des ceintures de Van Allen. Le but sera alors d’exposer la situation physique étudiée et les différents résultats obtenus jusqu’à maintenant sur le sujet.

Dans les années 1930, suite aux travaux de Elie Cartan et Hermann Weyl, il a été observé que des liens fondamentaux existaient entre la théorie des fonctions spéciales (introduites en analyse au 19e siècle (ce sont des fonctions analytiques non élémentaires qui sont apparues comme des solutions d’équations de la physique mathématiques, comme les fonctions de Bessel ou les fonctions hypergéométriques) et la théorie des représentations des groupes de Lie linéaires. En particulier, les fonctions sphériques jouent un rôle important dans l’étude des représentations de dimensions infinies de ces groupes.
Dans les années 1950, Gelfand introduit formellement le concept qui porte aujourd’hui son nom, en considérant un groupe G, un sous-groupe compact K et en étudiant les fonctions sur G étant K-bi-invariantes.
Ce sera le point de départ de cet exposé. Je commencerai par introduire la notion de paires de Gelfand en donnant quelques propriétés de ces dernières. Le but sera ensuite de donner quelques résultats concernant les fonctions et mesures sphériques et d’appliquer cela dans un cadre bien précis: les paires de Gelfand nilpotentes. Pour cela, on utilisera un exemple fondamental dans ce cadre, celui où K = U(n, C) et G défini comme le produit semi-direct de K avec le groupe de Heisenberg Hn (suivant les travaux de Benson – Jenkins – Ratcliff)