Groupe de travail des doctorants

Intuitivement, un feuilletage est une partition d’une variété (M) en sous-variétés connexes de même dimension, appelées feuilles. On peut s’intéresser à l’espace des feuilles, défini comme le quotient de (M) par la relation d’équivalence (mathcal{R}) qui identifie deux points de (M) s’ils sont une une même feuille. Cependant, cet espace peut être très singulier. On construit alors le groupoïde d’holonomie, groupoïde de Lie qui contient (mathcal{R}). Nous illustrerons ces notions avec quelques exemples simples.

Le problème de Dirichlet sur un domaine lisse et borné (Omega subset mathbb{R}^n) est bien posé : il existe toujours une unique solution, et celle-ci possède la plus grande régularité possible. Lorsque (Omega) n’est pas lisse, par exemple pour un polyhèdre, cette dernière propriété n’est plus vraie. En faisant un changement de variable qui envoie la singularité « à l’infini », je montrerai comment des résultats sur des variétés non-compactes permette de retrouver cette régularité.
Ce sera l’occasion d’évoquer quelques outils fondamentaux de l’analyse fonctionnelle : théorème de Lax-Milgram, inégalité de Poincaré…

Le laplacien est un opérateur différentiel qui apparaît dans de nombreux problèmes physiques. Ses valeurs propres correspondent, par exemple, aux notes que l’on entend lorsque l’on tape sur un tambour. Elles sont fortement liées à la géométrie de l’objet qu’on étudie (aire, périmètre, longueur de certaines courbes…). L’objectif de ma thèse est de proposer une manière intuitive et pratique de choisir des surfaces aléatoirement, et de donner des informations sur la répartition des valeurs propres du laplacien sur ces surfaces.

Les équations d’Einstein de la relativité décrivent le couplage entre le champ gravitationnel représenté par une métrique Lorentzienne g et la matière. Sous un certain choix de jauge, les équations d’Einstein peuvent s’écrire sous la forme d’un système d’EDP d’évolution, plus précisément des équations d’ondes quasilinéaires pour les composantes de la métrique (g), pour lesquelles le d’Alembertien est l’opérateur d’onde associé à la métrique Lorentzienne (g). La compréhension du comportement des solutions de ces équations en temps long est l’un des thèmes principaux de la relativité générale mathématique.

Au cours de cet exposé, je vais introduire les équations d’Einstein, expliquer certaines de leurs propriétés géométriques telles que leur covariance (de jauge) générale qui nous permettent de les considérer comme des EDP d’évolution (non-linéaires). J’expliquerai ensuite des idées générales pour aborder des résultats d’existence globaux (en temps) pour ces équations. En particulier, je soulignerai l’importance de donner du sens à des solutions à faible régularité pour obtenir des résultats d’existence globaux pour de nombreuses équations d’évolution non-linéaires.

Résume à venir

Étant donnée une équation différentielle linéaire, une question
importante est de savoir si celle-ci admet une (unique) solution. Un
problème un peu moins contraignant est de se demander si l’équation est Fredholm, c’est à dire « presque inversible » (dans un sens qu’on
précisera). Mon but est de montrer que cette question conduit
naturellement à étudier certaines algèbres d’opérateurs (appelées (C^*)-algèbres) qui ont une structure très riche. On verra que quand
on regarde une équation différentielle sur (mathbb{R}^n), la (C^*)-algèbre associée
est commutative, ce qui fournit une réponse complète au problème.
J’essaierai d’exposer les questions plus générales qui restent ouvertes
lorsqu’on étudie des espaces moins réguliers.

Ce court exposé porte principalement sur l’équivalence locale fondamentale (FLE) de Dennis Gaitsgory du programme quantum Langlands. Son origine est l’équivalence géométrique Satake. Afin de déformer l’équivalence d’origine, nous devons passer au modèle de Whittaker (objets (N (K), chi)-équivalents d’une catégorie). L’équivalence fondamentale veut établir une équivalence entre le modèle de Whittaker et le modèle de Kazhan-Lusztig. Dans cet exposé, je vais expliquer pourquoi les gens s’intéressent à ce programme et aux progrès récents en la matière. Si nous avons plus de temps, je me concentrerai sur mes travaux récents sur la FLE entre la catégorie Whitter tordue sur drapeau affine et la catégorie représentation mixte du groupe quantique.

Einstein’s equations have sparked much imagination in pop culture, but mathematically, are still very mysterious. In this talk, I will introduce the question of stability and long-time asymptotic behavior in mathematical relativity, beginning with the crucial result of Choquet-Bruhat that allowed Einstein’s equations to be viewed as a system of second-order hyperbolic equations. From there, I will introduce the basic concepts at the heart of the vectorfield method (which led to the pioneering work of Christodoulou and Klainerman demonstrating nonlinear stability of Minkowski space), using the free wave as the underlying motivator. Finally, I will present some brief ideas related to integrated local energy and geometric difficulties that come up when studying asymptotic behavior on non-flat spacetimes.

Je présenterai le modèle de la marche aléatoire branchante, qui est un système de particules qui alterne entre une phase de reproduction et une phase de déplacement. Cela revient à observer un grand nombre de variables aléatoires dont la structure de corrélation est donné par l’arbre généalogique de la population. Nous verrons l’influence de ces corrélations sur la position des particules les plus hautes à un instant donné, ce qui permettra de rappeler et d’illustrer les différentes notions de convergence utilisée en probabilités.