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Ecritures en bases $\beta$ et nombres de Pisot

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 18 janvier 2023 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Renan Laureti Résumé :

La méthode usuelle que nous utilisons pour écrire les nombres réels est le développement en base entière, qui consiste à exprimer un nombre réel $x$ selon les puissances négatives d’un entier $b>1$. Une question naturelle pour étendre ce procédé est la suivante : Que se passe-t-il si dans ce procédé on remplace l’entier $b$ par un réel $\beta>1$ ?

Nous verrons dans cet exposé les différences de fonctionnement des bases $\beta$ par rapport aux bases entières et parlerons de l’intérêt de considérer certaines classes de nombres comme les nombres de Pisot en tant que bases.


Autour de l'équation du plus bas niveau de Landau

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 7 décembre 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Valentin Schwinte Résumé :

Dans cet exposé, nous discuterons autour de l’équation du plus bas niveau de Landau, qui apparaît dans de nombreuses situations de la mécanique quantique, telles que la supraconductivité ou les condensats de Bose-Einstein. Nous commencerons par l’étude des propriétés basiques de l’équation : symétries, quantités conservées, existence et unicité d’une solution. Dans le but de mieux comprendre cette équation, nous regarderons de plus près une classe de solutions particulières appelées ‘ondes stationnaires’. Si le temps nous le permet, nous étudierons une conjecture concernant le réseau d’Abrikosov.


"Ô mon beau laplacien !"

Catégorie d'évènement : Doctorants Date/heure : 30 novembre 2022 10:30-12:00 Lieu : Oratrice ou orateur : Nathan Couchet Résumé :

Au travers de deux grands problèmes de la Physique et plus généralement de l’Histoire des mathématiques, cet exposé vise à motiver l’étude des opérateurs différentiels. Nous discuterons dans un premier temps de géométrie spectrale en dimension 1 et 2. Il existe en effet un lien entre le nombre de valeurs propres du laplacien et la géométrie du domaine associée à l’équation acoustique d’Helmholtz.

Dans un second temps, nous explorerons la naissance du concept de solution fondamentale d’un opérateur différentiel. Celui-ci suggère deux notions aujourd’hui fondamentales : l’ellipticité et l’hypo-ellipticité.

Enfin, si le temps nous est favorable, nous parlerons du théorème original de Rockland de 1978, lequel dresse un parallèle entre hypo-ellipticité et théories des représentations du groupe d’Heisenberg.


Universal higher Lie algebras of singular spaces and their symmetries

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 9 novembre 2022 10:45-11:45 Lieu : Oratrice ou orateur : Ruben Louis Résumé :
1. Nous montrons qu’il existe une équivalence de catégories entre les algèbres de Lie-Rinehart sur
une algèbre commutative O et classes d’équivalence d’homotopie d’algébroïdes de Lie infinie
acycliques graduées négativement. Par conséquent, ce résultat donne un sens à l’algébroïde
de Lie infinie universelle d’un feuilletage singulier, sans hypothèse supplémentaire, et pour les algébroïdes de Lie singulières d’Androulidakis-Zambon. Ceci étend à un cadre purement algébrique
la construction de la Q-variété universelle d’un feuilletage singulier localement réel analytique
de  Lavau-C.L.-Strobl.
2. La deuxième partie est consacrée à quelques applications des résultats sur les algèbres de Lie-Rinehart.
(a) On associe à toute variété affine une algébroïde de Lie infinie universelle de l’algèbre de Lie-
Rinehart de ses champs de vecteurs. Nous étudions l’effet de certaines opérations courantes
sur des variétés affines telles que les éclatements, germes en un point, etc.
(b) Nous donnons une interprétation de l’éclatement d’un feuilletage singulier F au sens de
Mohsen  en termes de l’algébroïde de Lie infinie universelle de F.
(c) Nous étudions les symétries de feuilletages singuliers à travers des algébroïdes de Lie infinie
universelles. Plus précisément, nous prouvons qu’une action par symétrie faible d’une algèbre
de Lie g sur un feuilletage singulier F (qui est moralement une action de g sur l’espace des
feuilles M/F induit un unique morphisme de Lie infini à homotopie près de g vers l’algèbre
de Lie différentielle graduée (DGLA) des champs de vecteurs sur un algébroïde de Lie infinie
universelle de F. On déduit de ce résultat général plusieurs conséquences. Par exemple,
nous donnons un exemple d’action d’algèbre de Lie sur une sous-variété affine qui ne peut
s’étendre à l’espace ambiant. Enfin, nous présentons la notion de tour de bisubmersions
sur un feuilletage singulier et relève des symétries à celles-ci.

Introduction à des modèles de percolation avec et sans contraintes

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 26 octobre 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Pierrick Siest Résumé :

Dans cet exposé je parlerai de percolation, qui est un domaine relativement récent des probabilités discrètes (1957). Étant donné un graphe $G=(V,E)$, une configuration de percolation $\omega$ sur $G$ est un élément de $\{0,1\}^E$, où la valeur $1$ pour une arête $e\in E$ code le fait qu’on considère que cette arête est « ouverte », et la valeur $0$ qu’elle est « fermée ». On peut voir cette configuration comme un sous-graphe de $G$, en conservant les sommets de $G$ et où l’ensemble des arêtes est $\{e\in E~:~ \omega(e)=1\}$. Le choix d’une mesure de probabilité sur l’ensemble des configurations de percolation de $G$ définit un modèle de percolation sur $G$.

La percolation de Bernoulli, modèle qu’on appellera « sans contraintes », sera le premier modèle étudié. Je parlerai de grands résultats qui ont été obtenus, mais également de certaines conjectures qui demeurent sur des graphes relativement simples.

Enfin j’aborderai le cas des modèles dits « avec contraintes », qui constituent le sujet de ma thèse. Mon but sera de faire ressortir les difficultés que peuvent apporter ces contraintes, et de montrer des exemples de façons de les contourner.


Introduction à la théorie du contrôle et contrôle du problème de Stefan

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 5 octobre 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Blaise Colle Résumé :
Dans cet exposé j’introduirai tout d’abord la notion de contrôle, qui est la discipline mathématique qui s’intéresse à guider des systèmes (physiques, biologiques, chimiques, mathématiques…) dont le comportement est régit
par un système d’EDO ou d’EDP. Plus précisément si on s’intéresse à l’EDO $\dot{x}=f(x,t,u)$, comment (et est il possible de) choisir $u$ pour avoir $X(0)=x_{0}$ et $X(T)=x_{T}$ pour $T>0$, $x_{0}$ et $x_{T}$ donnés?
Je présenterai les résultats les plus élémentaires du domaine.
Dans un second temps je présenterai mes travaux sur le problème de Stefan, un système couplé EDPs/EDO non linéaire et à frontière libre (le domaine sur lequel sont posées les EDPs bouge) qui modélise certains phénomènes de transitions de phases.

Quelques problèmes de géométrie discrète

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 1 juin 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Bastien Laboureix (LORIA,Nancy) Résumé :
Quand vous étiez petits, on vous a raconté que les droites étaient sans épaisseur. Ayant des difficultés concevoir une telle chose, des chercheurs ont voulu tester cette hypothèse. Ils ont tapé « droite » sur Internet, ont pris une photo de droite et ont zoomé, zoomé et encore zoomé. Ils ont alors découvert une terrible vérité, que nos gouvernants nous cachent depuis des siècles : les droites ne sont pas composées de points comme on le laisse croire aux enfants ! Elles sont en réalité formées par des petits carrés, invisibles à l’œil nu que nous appellerons pixels, pour préserver leur anonymat. Les scientifiques ont alors voulu creuser cette représentation : leurs études les ont menés à parler de géométrie discrète, qui voit les droites comme composées de pixels et non comme des objets continus. Evidemment, la géométrie euclidienne, pilier millénaire de ce mensonge de masse, ne s’applique pas sur les pixels : plus de division, adieu les limites, tout n’est plus qu’arithmétique !
Venez, mercredi, découvrir le terrible secret de la géométrie discrète.

Barycentres de séries temporelles : une nouvelle approche basée sur la méthode de la signature

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 27 avril 2022 10:45-10:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Raphael Mignot Résumé :

La méthode de la signature a été largement utilisée pour l’analyse des séries temporelles multivariées. Cette approche a prouvé son efficacité pour de nombreuses applications  en apprentissage statistique. La définition d’une notion de barycentre dans l’espace des signatures est un premier pas prometteur permettant de développer de nouvelles extensions de l’analyse en composantes principales (ACP) ou de l’algorithme des k-moyennes aux séries temporelles.


Espace projectif complexe, sous-variétés analytiques et théorème de Chow

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 6 avril 2022 10:45-11:45 Lieu : Salle de conférences Nancy Oratrice ou orateur : Yann Millot Résumé :

Le but de cet exposé est de présenter les différents concepts de base de la géométrie, en particulier de la géométrie complexe. L’objet de base de toute géométrie est la variété (différentielle, algébrique, complexe) qui généralise la notion d’ouvert d’un espace vectoriel. Par exemple, la surface terrestre ressemble localement au plan réel, mais pas dans sa globalité, et la théorie des variétés différentielles va permettre de comprendre cet objet. La géométrie complexe est plus restrictive par ses fonctions sont beaucoup moins nombreuses, mais un exemple qui apparait naturellement l’espace projectif, car il est possible de mettre une structure géométrique sur un ensemble de droites vectorielles. Enfin, les géométries algébrique et analytique complexes entretiennent des liens proches, tout polynôme étant une fonction holomorphe, toute variété algébrique peut-être vue comme une variété complexe. Cependant, les fonctions holomorphes se comportent presque comme des polynômes, il est donc naturel de s’interroger sur une éventuelle réciproque : Dans le cas projectif, la réponse a été donnée par W.L. Chow en 1949.


Representation Theory of Lie groups and applications in Physics and Neural Networks

Catégorie d'évènement : Séminaire des doctorants Date/heure : 23 mars 2022 10:45-11:45 Lieu : Oratrice ou orateur : Rafailia Tsiavou Résumé :

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