Groupe de travail des doctorants

Les équations d’Einstein de la relativité décrivent le couplage entre le champ gravitationnel représenté par une métrique Lorentzienne g et la matière. Sous un certain choix de jauge, les équations d’Einstein peuvent s’écrire sous la forme d’un système d’EDP d’évolution, plus précisément des équations d’ondes quasilinéaires pour les composantes de la métrique (g), pour lesquelles le d’Alembertien est l’opérateur d’onde associé à la métrique Lorentzienne (g). La compréhension du comportement des solutions de ces équations en temps long est l’un des thèmes principaux de la relativité générale mathématique.

Au cours de cet exposé, je vais introduire les équations d’Einstein, expliquer certaines de leurs propriétés géométriques telles que leur covariance (de jauge) générale qui nous permettent de les considérer comme des EDP d’évolution (non-linéaires). J’expliquerai ensuite des idées générales pour aborder des résultats d’existence globaux (en temps) pour ces équations. En particulier, je soulignerai l’importance de donner du sens à des solutions à faible régularité pour obtenir des résultats d’existence globaux pour de nombreuses équations d’évolution non-linéaires.

Résume à venir

Étant donnée une équation différentielle linéaire, une question
importante est de savoir si celle-ci admet une (unique) solution. Un
problème un peu moins contraignant est de se demander si l’équation est Fredholm, c’est à dire « presque inversible » (dans un sens qu’on
précisera). Mon but est de montrer que cette question conduit
naturellement à étudier certaines algèbres d’opérateurs (appelées (C^*)-algèbres) qui ont une structure très riche. On verra que quand
on regarde une équation différentielle sur (mathbb{R}^n), la (C^*)-algèbre associée
est commutative, ce qui fournit une réponse complète au problème.
J’essaierai d’exposer les questions plus générales qui restent ouvertes
lorsqu’on étudie des espaces moins réguliers.

Ce court exposé porte principalement sur l’équivalence locale fondamentale (FLE) de Dennis Gaitsgory du programme quantum Langlands. Son origine est l’équivalence géométrique Satake. Afin de déformer l’équivalence d’origine, nous devons passer au modèle de Whittaker (objets (N (K), chi)-équivalents d’une catégorie). L’équivalence fondamentale veut établir une équivalence entre le modèle de Whittaker et le modèle de Kazhan-Lusztig. Dans cet exposé, je vais expliquer pourquoi les gens s’intéressent à ce programme et aux progrès récents en la matière. Si nous avons plus de temps, je me concentrerai sur mes travaux récents sur la FLE entre la catégorie Whitter tordue sur drapeau affine et la catégorie représentation mixte du groupe quantique.

Einstein’s equations have sparked much imagination in pop culture, but mathematically, are still very mysterious. In this talk, I will introduce the question of stability and long-time asymptotic behavior in mathematical relativity, beginning with the crucial result of Choquet-Bruhat that allowed Einstein’s equations to be viewed as a system of second-order hyperbolic equations. From there, I will introduce the basic concepts at the heart of the vectorfield method (which led to the pioneering work of Christodoulou and Klainerman demonstrating nonlinear stability of Minkowski space), using the free wave as the underlying motivator. Finally, I will present some brief ideas related to integrated local energy and geometric difficulties that come up when studying asymptotic behavior on non-flat spacetimes.

Je présenterai le modèle de la marche aléatoire branchante, qui est un système de particules qui alterne entre une phase de reproduction et une phase de déplacement. Cela revient à observer un grand nombre de variables aléatoires dont la structure de corrélation est donné par l’arbre généalogique de la population. Nous verrons l’influence de ces corrélations sur la position des particules les plus hautes à un instant donné, ce qui permettra de rappeler et d’illustrer les différentes notions de convergence utilisée en probabilités.

Les arbres récursifs des arbres enracinés (graphes connexes sans cycle avec un sommet distingué) étiquetés de telle façon à ce que l’étiquette de chaque sommet soit plus grande que celle de son parent.
Ces arbres peuvent représenter le résultat d’un phénomène de croissance dans le temps, l’ordre des étiquettes correspondant à l’ordre d’arrivée des noeuds dans une construction itérative.
On présentera plusieurs modèles aléatoires produisant de tels arbres en commençant par le modèle uniforme et le modèle d’attachement préférentiel. On montrera que ces deux exemples sont en fait deux cas particuliers d’un modèle plus général, les arbres récursifs pondérés.
On étudiera donc quelques propriétés asymptotiques de ces arbres dans ce contexte plus général comme les degrés des sommets, la hauteur maximale ou la hauteur d’un sommet typique, lorsque le nombre de sommets devient grand.

L’approche perturbative usuelle de la théorie des champs, notamment dans le formalisme de l’intégrale fonctionnelle est très mal définie sur le plan mathématique, et permet cependant de prédire des résultats expérimentaux avec une précision extraordinaire.Après un tour d’horizon général sur la théorie des champs et les différentes approches, nous nous focaliserons sur la théorie des champs dite perturbative dans le formalisme de l’intégrale fonctionnelle. A partir d’un cas non-physique très simplifié, nous présenterons les ingrédients fondamentaux que sont les diagrammes de Feynman et soulignerons plusieurs problèmes qui surviennent. Nous évoquerons par la suite les problèmes qui surviennent lorsque l’on cherche à décrire un système physique.

We consider a random band matrix ensemble in two and three
dimensions, in the limit of infinite volume and fixed but large band
width. For this model, we discuss rigorous results on the averaged
density of states obtained in [2] and [1]. The main steps of the proof
are a supersymmetric dual representation, a saddle point analysis and a
suitable cluster expansion. We compare the results and proofs with
respect to the dimension.
This is a joint work with M. Disertori.[1] M. Disertori and M. Lager. Density of States for Random Band
Matrices in Two Dimensions. Annales Henri Poincaré, 18(7):2367–2413, 2017.[2] M. Disertori, H. Pinson, and T. Spencer. Density of states for
random band matrices. Comm. Math. Phys., 232(1):83–124, 2002.

La théorie de Mourre est un ensemble de résultats permettant de montrer des propriétés du spectre essentiel d’un opérateur auto-adjoint (absence de valeur propre dans le spectre essentiel, absence de spectre singulier continu, existence d’un Principe d’Absorption Limite,…). Cette théorie nécessite l’utilisation d’un second opérateur: l’opérateur conjugué. Habituellement, lorsqu’on cherche à appliquer la théorie de Mourre à des opérateurs de Schrödinger, on utilise un opérateur conjugué appelé le générateur des dilatations. L’utilisation de cet opérateur conjugué impose des conditions de décroissance des dérivées du potentiel ce qui peut empêcher l’application de la théorie de Mourre à certains types de potentiel (potentiels peu réguliers, non bornés ou avec de fortes oscillations par exemple). Dans cet exposé, nous verrons comment un autre choix d’opérateur conjugué permet de traiter le cas de certains potentiels pour lesquels la théorie de Mourre avec le générateur des dilatations comme opérateur conjugué ne semble pas applicable.