En 1913, De Franchis a démontré que le nombre d’applications holomorphes surjectives de $X$ vers $Y$ est fini lorsque $X$ et $Y$ sont des surfaces de Riemann compactes et que $Y$ est de genre au moins 2.

Ce résultat a été généralisé en dimension supérieure par Noguchi pour certaines variétés hyperboliques et Campana a établi un énoncé analogue pour les courbes orbifoldes hyperboliques.

Dans cet exposé, nous introduirons différentes notions liées à l’hyperbolicité et aux orbifoldes, afin de comprendre certaines propriétés de finitude pour les applications holomorphes entre variétés hyperboliques ou entre paires orbifoldes hyperboliques, généralisant ainsi le théorème de De Franchis.

Les variétés de Robinson sont des variétés pseudoriemanniennes que l’on peut réaliser comme fibrés en droites (ou cercles) au dessus de variétés CR. Ces variétés sont présentes dans l’étude des solutions exactes de la relativité générale et plus précisément dans les métriques de type trou noir (Kerr, Taub-Nut). Après avoir présenté ces variétés et donné quelques exemples, nous introduirons dans cet exposé une connexion métrique (différente de la connexion de Levi-Civita) adaptée à l’étude de la géométrie de ces variétés.

Dans un travail en commun avec Patrick Graf et Henri Guenancia, nous nous sommes intéressés à un analogue singulier du théorème de Yau qui affirme qu’une variété kählérienne compacte dont les 2 premières classes de Chern sont nulles admet un revêtement étale qui est un tore. Pour généraliser ce type de résultat au cas klt, nous établissons une version singulière de l’inégalité de Bogomolov–Gieseker. Nous nous appuyons également sur le théorème de décomposition pour les espaces kählériens Ricci plat obtenu par Bakker–Guenancia–Lehn.

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Je parlerai d’un projet en commun avec Maxime Fortier Bourque sur des problèmes extrémaux en géométrie hyperbolique. Les problèmes qui nous intéressent sont des analogues hyperboliques de problèmes classiques en géométrie euclidienne, comme le problème de la densité maximale des empilements de sphères et le problème du nombre de contact. L’objectif de l’exposé sera d’expliquer comment on peut utiliser la formule de trace de Selberg – une formule qui relie les longueurs des géodésiques sur une variété hyperbolique au spectre du Laplacien de cette variété – pour attaquer ces problèmes.

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Comme chaque « séminaire commun de géométrie », une première partie de 14h à 14h45 sera un exposé d’introduction au sujet de type colloquium, suivi d’une pause thé-gateaux de 14h45 à 15h15 et de la suite de l’exposé de 15h15 à 16h.

En 1977, Milnor a formulé la conjecture suivante : tout groupe discret de transformations affines agissant proprement sur l’espace affine est virtuellement résoluble. On sait maintenant que cet énoncé est faux ; l’objectif est à présent de mieux cerner les contre-exemples à cette conjecture. Il y a deux ans, j’ai présenté au séminaire de Géométrie Différentielle une méthode permettant de construire un très grand nombre de tels contre-exemples.

Cette fois-ci, d’une part, je vais au contraire me concentrer sur les cas particuliers dans lesquelles la conjecture de Milnor est vérifiée. Je vais expliquer dans quels cas je sais la démontrer, et quels sont les obstacles à surmonter pour couvrir les cas restants.

Je vais également évoquer les possibles critères de propreté de l’action d’un groupe discret affine fixé.

Dans cet exposé, on étudiera les hypersurfaces algébriques réelles à l’intérieur d’une variété algébrique réelle donnée. On prouvera que les hypersurfaces algébriques réelles avec de très grands nombres de Betti (par exemple, les hypersurfaces maximales au sens de Smith-Thom) sont exponentiellement rares dans leur système linéaire.

L’inversion de Laurent construit des déformations qui sont au centre de la symétrie miroir des variétés de Fano. Soit f un polynôme de Laurent dont le support est un polytope 3-dimensionnel P, auquel on associe une variété de Fano torique X_P. Dans le cas le plus général, l’inversion de Laurent construit un plongement de X_P dans une variété torique ambiante Y. Si en plus X_P est une intersection complète donnée par des fibrés en droites sur Y, alors une section générale de ces fibrés est une variété de Fano X dont X_P est une dégénérescence torique. Le but est de trouver un Y tel que X soit le plus lisse possible – dans cet exposé on s’intéresse aux variétés de dimension trois, terminales et Q-factorielles. Cette technique permet de construire beaucoup d’exemples d’une façon très explicite et controlée, en exploitant la combinatoire pour obtenir des objets géométriques.

On se place dans l’espace des chambres de Weyl d’un espace symétrique de rang supérieur, ce qui correspond dans le cas d’une surface hyperbolique à son fibré unitaire tangent. Dans le cas compact ainsi que pour les orbivariétés qui sont des revêtements finis de SL(d,ZZ)\SL(d,IR), l’espace des chambres de Weyl contient des tores plats. Cela correspond, dans le cas des surfaces
hyperboliques aux orbites fermées du flot géodésique. Je vais vous présenter un résultat d’équidistribution et de comptage de ces tores plats périodiques, obtenus en collaboration avec Jialun Li.