Séminaires

Dans cet exposé on étudiera le feuilletages de codimension un sur certains espaces rationnels homogènes, et on se focalisera sur les espaces de modules de feuilletages en petit degré. L’exemple (historique) qui guidera l’exposé est celui de l’espace projectif: tous les feuilletages de degré minimale de l’espace projectif sont obtenus comme les fibres d’une application linéaire de P^n vers P^1. Ceci implique que l’espace de modules de tels feuilletages est isomorphe à une Grassmannienne. En utilisant des techniques équivariantes, on montrera qu’un résultat analogue est vrai pour une certaine classe de variétés homogènes dites Grassmanniennes cominuscules, qui inclut notamment les Grassmanniennes de droites et d’autres variétés plus exotiques (ou exceptionnelles). On mentionnera enfin certains indices que ces résultats peuvent être étendus au-délà des cas déjà mentionnés. Il s’agit d’un travail en commun avec Daniele Faenzi et Alan Muniz.

Un ensemble de l’espace euclidien est rectifiable s’il peut être couvert presque entièrement par des sous-variétés de classe $C^1$, ce qui permet de l’étudier avec des outils d’analyse. Une propriété importante de tels ensembles est que leur mesure de Hausdorff a densité égale à 1 presque partout.
Mon exposé portera sur la question opposée : est-ce que la densité  implique la rectifiabilité ?
Le problème est ouvert dans les espaces métriques généraux et assez lié au problème isodiamétrique : c’est-à-dire de trouver l’ensemble de volume maximal parmi les ensembles de diamètre fixé. Je donnerai une réponse dans le cas des groupes de Lie homogènes qui sont des modèles naturels pour la question. (C’est un travail en commun avec Andrea Merlo.)

Un plain d’homologie est une surface quasi-projective avec les mêmes groupes d’homologie que le plan affine complexe. Dans la première partie de l’exposé, on discutera certaines propriétés des plans d’homologie. Dans la deuxième partie, une nouvelle connexion avec les variétés lisses réelles de dimension quatre sera mentionée. Cette dernière partie est travail en commun avec Oğuz Şavk.

Ce groupe de travail étudie l’article de Calegari-Marques-Neves sur le nombre de surfaces minimales immergées dans une 3-variété hyperbolique.

Cet exposé sera consacré au résultat de Sacks-Uhlenbeck : étant donné une immersion incompressible d’une surface compacte dans une 3-variété compacte à courbure négative, alors il existe une immersion minimale dans la même classe d’homotopie.

Le corps de Newton-Okounkov d’un diviseur gros D sur une varieté projective X est un convexe de R^n représentant le comportement asymptotique de l’ensemble des sections globales H^0(X,mD) quand m tend vers l’infini. Ainsi par exemple, le volume (dans R^n) du corps de Newton-Okounkov de D est n! fois le volume du diviseur D. Lehmann et Xiao ont défini des notions de volume pour les courbes duales de la notion de volume pour les diviseurs. En s’appuyant sur ce même papier, nous verrons qu’il est également possible de construire des corps de Newton-Okounkov pour les courbes de volume multiple du volume de la courbe initiale. Enfin, cette construction permet d’établir une nouvelle conjecture sur les corps de Newton-Okounkov.

En 2011, Andersen et Kashaev ont défini une TQFT de dimension infinie à partir de la théorie de Teichmüller quantique. Cette TQFT de Teichmüller fournit un invariant des 3-variétés triangulées, et notamment des complémentaires de nœuds. La conjecture du volume associée affirme que la TQFT de Teichmüller du complémentaire d’un nœud hyperbolique contient le volume hyperbolique de ce nœud comme un certain coefficient asymptotique, et Andersen et Kashaev ont démontré cette conjecture pour les deux premiers nœuds hyperboliques.

Dans cet exposé, après un historique des invariants quantiques des nœuds et des conjectures du volume, je présenterai la construction de la TQFT de Teichmüller et comment nous avons démontré sa conjecture du volume pour la famille infinie des nœuds twist. Pour ce faire nous avons construit de nouvelles triangulations des complémentaires de ces nœuds, appelées triangulations géométriques car elles encodent la structure hyperbolique de la 3-variété sous-jacente.

Aucun prérequis en topologie quantique n’est nécessaire.

(en collaboration avec E. Piguet-Nakazawa et F. Guéritaud)

Dans cet exposé nous expliquons d’abord comment associer
des couples (surfaces de Riemann, différentielles méromorphes)
aux pavages d’une surface topologique donnée par des triangles ou des
carrés. Cela nous permettra de ramener le problème de déterminer
l’asymptotique du nombre de tels pavages à des calculs de volumes de
certains espaces de modules. Nous verrons enfin comment les outils de
la géométrie analytique et algébrique complexe, notamment la variation
de la structure de Hodge, nous permettent d’obtenir des valeurs
exactes de ces volumes dans certains cas.