In this talk I will present a joint work with C. Casagrande, in which we study smooth complex Fano 4-folds with a rational fibration onto a 3-fold. After an introduction on the setting and motivation, I will discuss our main result: if X is Fano 4-fold with a rational fibration onto a 3-fold and it is not a product of surfaces, then the Picard number of X is at most 9, and the bound is sharp. Moreover, I will present a classification result in a special case within the setting above, and show new examples of Fano 4-folds with large Picard number.

B. Pasquier a décrit toutes les variétés horosphériques de Fano de nombre de Picard 1. Nous décrirons la géométrie de ces variétés et en particulier les propriétés de leurs courbes rationnelles, leur cohomologie et leur cohomologie quantique (travail en commun avec R. Gonzales, C. Pech et A. Samokhine) .

Nous ferons des rappels sur le thème de la compactification des immeubles des groupes semi-simples sur les corps locaux. Dans le cas d’un groupe déployé, on peut identifier de façon équivariante la compactification de Satake-Berkovich maximale de l’immeuble euclidien correspondant, avec la compactification obtenue en plongeant l’immeuble dans l’espace de Berkovich associé à  la compactification maximale du groupe. La relation entre les structures à  l’infini, l’une provenant des strates de la compactification magnifique et l’autre des immeubles de Bruhat-Tits des facteurs de Lévi, peut être décrite. C’est un travail en commun avec A. Thuillier et A. Werner.

En faisant un petit calcul concret, on essaiera de convaincre l’audience que l’idée de considérer les orbifolds comme des champs n’est pas une lubie, mais apporte des outils pertinents, d’après arXiv:1611.09178.

Soit $E$ un fibré plat de rang $r$ au-dessus d’une variété kählérienne compacte. On peut définir le spectre de Lyapunov de $E$ : c’est un ensemble de $r$ exposants réels contrôlant la croissance des sections plates de E, le long de trajectoires browniennes.
J’expliquerai comment calculer ces exposants, en utilisant la notion de mesure harmonique sur un espace feuilleté. Je montrerai ensuite une inégalité reliant ces nombres aux degrés des sous-fibrés holomorphes de $E$, puis je discuterai du cas d’égalité.

An injective homomorphism of the fundamental group of an hyperbolic surface in the symplectic group Sp(2n,R) is a maximal representation if it maximizes the so-called Toledo invariant. Maximal representations form interesting and well studied components of the character variety generalizing the Teichm »uller space, that is encompassed in the case n=1. Basmajian’s equality allows to compute the length of the boundary of a hyperbolic surface in term of the lengths of the orthogeodesics: geodesic segments orthogonal to the boundary at both endpoints. In joint work with Federica Fanoni we provide a generalization of this result to the setting of maximal representations. »

Les conditions de stabilité à  la Bridgeland ont joué ces dernières années un rôle central dans l’étude des espaces de modules. Une des propriétés fondamentales des telles conditions est la possibilité de les déformer, ce qui donne lieu à  une variété complexe avec une structure de chambres et murs correspondant à  différents modèles birationnels d’un espace de module de fibrés $mu$-semistables. Néanmoins, il est très difficile de montrer l’existence de telles conditions en dimension au moins trois. Dans cet exposé, je présenterai les idée fondamentales dans les cas plus simples (surfaces) et je montrerai comment utiliser un argument de C.Li pour construire des conditions de stabilité sur une variété de Fano de dimension 3. Il s’agit d’un résultat obtenu en collaboration avec E. Macri’, B. Schmidt et X. Zhao.

Soit $X$ une variété kählérienne compacte à  fibré anticanonique nef. D’après Q. Zhang et M. Paun, on sait que l’application d’Albanese est surjective. On étudie ici la régularité de l’application d’Albanese et on montre que cette application est lisse si X est projective.