Probabilities and Statistic seminar

The ovarian follicles are the basic anatomical and functional units of the ovaries, which are renewed from a
quiescent pool all along reproductive life. Follicular development involves a finely tuned sequence of growth and
maturation processes, involving complex cell dynamics. In their early stages of development, ovarian follicles are made up of a germ cell (oocyte), whose diameter increases steadily, and of surrounding proliferating somatic
cells, which are layered in a globally spherical and compact structure.
Here, we present two complementary modeling approaches dedicated to the first stages of a follicle develop-
ment, starting with the exit from the pool of quiescent (primordial) follicles leading to growth initiation, and
ending up just before the breaking of the spherical symmetry induced by the follicle cavitation (formation of
the antrum cavity).
The initiation phase is described by joint stochastic dynamics accounting for cell shape transitions (from
a flattened to a cuboidal shape) and proliferation of reshaped cells. We can derive the mean time elapsed before all cells have changed shapes and the corresponding increment in the total cell number, which is fitted
to experimental data retrieved from primordial follicles (single layered follicle with only flattened cells) and primary follicles (single layered follicles with only cuboidal cells).
The next stages, characterized by the accumulation of cell layers around the oocyte, are described by
multi-type structured models in either a stochastic or deterministic framework. We have designed a linear age-structured stochastic (Bellman-Harris branching) process ruling the changes in the number of follicular cells and their distribution into successive layers, which is inspired from the nonlinear model initially introduced in [1], as well as is deterministic counterpart (multi-dimensional Mc Kendrick Von Foerster). We have studied the large-time behavior of the models and derived explicit analytical formulas characterizing an exponential growth
of the population (Malthus parameter, asymptotic cell number moments and stable age distribution). We have
compared the theoretical and numerical outputs of the models with experimental biological data informing on follicle morphology in the ovine species (follicle and oocyte diameters, layer number and total cell number) from the primary to the pre-antral stage. In addition, in the case of age independent division rates, we have established the structural identifiability of the parameters, and estimated the parameter values fitting the cell numbers in each layer during the early stages of follicle development.

[1 ] Clément F., Michel P., Monniaux D., Stiehl T., Coupled somatic cell kinetics and germ cell growth:
mutliscale model-based insight on ovarian follicular development,
Multiscale et Modeling & Simulation
, 11(3), 719-746, 2013.

[2 ] Clément F., Robin F., Yvinec R., Analysis and calibration of a linear model for structured cell populations with unidirectional motion : Application to the morphogenesis of ovarian follicles,
Submitted. https://arxiv.or/abs/1712.05372

Nous considérons des systèmes de processus de Hawkes structurés en un nombre fini de populations, avec des interactions du type champ moyen. Ces processus décrivent les instants de décharge électrique de neurones en interactions. Nous décrivons la limite lorsque le nombre de neurones par population tend vers l’infini et nous montrons que dans certains cas, le processus limite possède des solutions périodiques qui correspondent aux orbites périodiques d’un système dynamique associé au processus limite. Nous établissons aussi des théorèmes limites qui décrivent la convergence du système de neurones à  taille finie vers ces orbites périodiques.

Ces résultats sont basés sur un travail en collaboration avec S. Ditlevsen.

In this talk, we present some inference methods in some multivariate models with
multiple unknown change-points when the target parameter is suspected to satisfy an uncertain constraint. We waive the assumptions on the error terms and establish the joint asymptotic normality of the unrestricted estimator and the restricted estimator. Further, we propose a class of shrinkage estimators that includes as a special case the unrestricted estimator, the estimator restricted as well as James-Stein type estimators. To study the performance of the proposed estimators, we generalize some classical identities underlying the multivariate Gaussian random samples or, more generally, the multivariate elliptically contoured random samples. Finally, we prove that shrinkage estimators dominate the unrestricted estimator.

Les populations composées de deux types d’individus (ou phénotypes) peuvent naturellement s’étudier grâce aux marches aléatoires planaires. Dans cet exposé je ferai un survol des techniques existantes et présenterai également de nouvelles idées pour l’étude de telles populations bidimensionnelles. Nous commencerons par le cas des populations homogènes, qui correspondent à  des modèles maintenant classiques de marches aléatoires dans le quart de plan. Nous présenterons ensuite une classe de marches aléatoires inhomogènes ayant une interprétation biologique naturelle. En passant nous lierons ces marches aléatoires inhomogènes avec d’autres processus, provenant de la théorie des files d’attente (joindre la file la plus courte), de processus de branchement, de modèles d’urnes et de théorie du potentiel. Il s’agit de différents travaux en commun avec Gerold Alsmeyer (Mà¼nster), Irina Kurkova (Paris 6), Pauline Lafitte (ECP) et Chi Tran (Lille).

Un défaut habituel des algorithmes de Monte Carlo par chaînes de Markov
est leur difficulté à  explorer l’espace convenablement, ce qui mène
à  de grandes erreurs d’estimation. L’algorithme de “métadynamique”,
introduit par Bussi, Laio et Parrinello dans les années 2000 illustre l’une des stratégies possibles pour contourner la difficulté, en gardant la mémoire de la trajectoire passée et en l’utilisant pour biaiser le processus et le pousser vers des régions peu visitées.
L’analyse des processus sous-jacent n’est pas aisée en général ; nous discuterons d’un modèle jouet, que l’on peut traiter par des outils de la littérature des processus auto-répulsifs.

Travail en commun avec B. Jourdain et T. Lelièvre (Ecole des Ponts ParisTech).

On essaye d’étudier une classe d’algorithmes du type Monte Carlo Tree Search pour des jeux
déterministes à  trait alterné et information complète (du type morpion, puissance 4, etc.).

In these two presentations, we will first introduce using basic stochastic calculus, the parametrx method and then show how to deduce an unbiased simulation method and its interpretations.

We will discuss its advantages and shortcomings and then discuss how to solve them.
using a second
order method.
We will also give some simulation results and then time allowing we will discuss some other extensions.

Les processus de branchement avec immigration (CBI) est une classe bien étudiée en probabilité. En particulier, les travaux de Dawson et Li ont fourni une écriture
explicite d’une EDS pour un CBI général et prouvé l’unicité de sa solution.
Nous exploitons cette écriture pour proposer une extension du modèle CIR pour inclure une partie à  sauts dans le mécanisme de branchement. Nous considérons en particulier le cas alpha-stable à  cause de sa parcimonie et pour sa cohérence avec des résultats statistiques.
Nous montrons que ce modèle, appliqué aux taux d’intérêt, permet d’expliquer plusieurs effets
connus sur les marchés obligataires comme la persistance des taux faibles malgré la présence des grands sauts.
Une deuxième application est l’extension du modèle Heston pour inclure des sauts auto-excités dans le processus variance. Nous étudions en particulier le comportement de la volatilité implicite sur l’action et sur ses variance swap. Nous testons ce modèle sur les donnes du VIX en montrant que notre modèle fit bien.
Basé sur deux travaux avec Ying Jiao, Chunhua Ma et Chao Zhou.

Nous considérerons des matrices de Wishart en grande dimension, dont les coefficients sont des gaussiennes possiblement corrélées. Dans la situation “mémoire courte”, nous analyserons la proximité en loi de ces matrices avec l’ensemble gaussien correspondant quand la taille de la matrice tend vers l’infini, au sens de la distance de Wasserstein. Dans la situation “mémoire longue”, la situation est tout autre: nous mettrons en évidence la convergence vers une matrice aléatoire, que nous avons appelée matrice de Rosenblatt-Wishart. Cet exposé sera basé sur un travail en collaboration avec Guangqu Zheng (Univ. Luxembourg).

Si on part du réseau carré et efface chaque sommet indépendamment avec une certaine probabilité q, on effectue ce qui s’appelle une percolation de Bernoulli : cet important modèle de mécanique statistique rend compte des phénomènes d’infiltration en milieu poreux. Si on part du réseau carré mais cette fois-ci efface chaque sommet $(x,y)$ tel que $PGCD(x,y)neq 1$, on obtient maintenant un objet déterministe de nature arithmétique. Est-il possible de former une percolation (véritablement aléatoire donc) riche en informations arithmétiques ?

On va voir que cela est effectivement possible : on peut définir à  quoi ressemble le sous-graphe arithmétique précédent “vu depuis un point tiré uniformément dans le plan”. Ce sous-graphe aléatoire est obtenu selon un “crible d’Ératosthène aléatoire”. On fournira de ce graphe aléatoire une définition élémentaire, puis utilisera le lemme chinois pour faire le pont entre le sous-graphe arithmétique déterministe et sa contrepartie aléatoire. On abordera ensuite brièvement quelques problèmes naturels, comme l’étude des composantes connexes infinies du graphe aléatoire.