Probabilities and Statistic seminar

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We study the optimal transport problem on the real line with the cost given by the distance, a setting in which solutions (called optimal transport plans) are typically non-unique. The first part of the talk presents a decomposition theorem: every optimal transport plan admits a unique decomposition into components, each acting on a specific region where the mass moves forward, moves backward, or remains stationary. Building on this structure, the second part investigates the behaviour of an entropically regularized version of the problem as the regularization parameter tends to zero. A natural candidate for the limit is constructed from our decomposition together with a Strassen-type theorem for a strengthened stochastic order. When the source and target distributions are sufficiently singular, the entropic minimizers converge to this plan. In general, all limit points satisfy a structural property known as weak multiplicativity.

Single-cell data yield profound insight into the complex nature of molecular feature distributions. However, they also pose statistical analysis challenges. A key challenge is the intricate geometry of these distributions, which requires non-linear analysis methods. We propose a kernel-based framework for comparing conditions in single-cell experiments that allows non-linear comparisons of different cell populations. In this talk, I will explain how embedding the data in an infinite-dimensional reproducing kernel Hilbert space (RKHS) facilitates non-linear operations on the data via linear operations in the feature space. I will present a linear model in the RKHS and introduce a truncated kernel Hotelling-Lawley statistic with an associated kernel trick. This statistic has been shown to have an asymptotic chi-squared distribution, which allows to quantify the significance of the test results. The functionality and flexibility of the proposed approach will be demonstrated on scRNA-Seq data obtained in the context of cerebral arteries profiling. The goal of this analysis is to gain insight into the appearance of intracranial aneurysms.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Les processus de branchement avec immigration (CBI) est une classe bien étudiée en probabilité. En particulier, les travaux de Dawson et Li ont fourni une écriture
explicite d’une EDS pour un CBI général et prouvé l’unicité de sa solution.
Nous exploitons cette écriture pour proposer une extension du modèle CIR pour inclure une partie à  sauts dans le mécanisme de branchement. Nous considérons en particulier le cas alpha-stable à  cause de sa parcimonie et pour sa cohérence avec des résultats statistiques.
Nous montrons que ce modèle, appliqué aux taux d’intérêt, permet d’expliquer plusieurs effets
connus sur les marchés obligataires comme la persistance des taux faibles malgré la présence des grands sauts.
Une deuxième application est l’extension du modèle Heston pour inclure des sauts auto-excités dans le processus variance. Nous étudions en particulier le comportement de la volatilité implicite sur l’action et sur ses variance swap. Nous testons ce modèle sur les donnes du VIX en montrant que notre modèle fit bien.
Basé sur deux travaux avec Ying Jiao, Chunhua Ma et Chao Zhou.

Nous considérerons des matrices de Wishart en grande dimension, dont les coefficients sont des gaussiennes possiblement corrélées. Dans la situation “mémoire courte”, nous analyserons la proximité en loi de ces matrices avec l’ensemble gaussien correspondant quand la taille de la matrice tend vers l’infini, au sens de la distance de Wasserstein. Dans la situation “mémoire longue”, la situation est tout autre: nous mettrons en évidence la convergence vers une matrice aléatoire, que nous avons appelée matrice de Rosenblatt-Wishart. Cet exposé sera basé sur un travail en collaboration avec Guangqu Zheng (Univ. Luxembourg).

Si on part du réseau carré et efface chaque sommet indépendamment avec une certaine probabilité q, on effectue ce qui s’appelle une percolation de Bernoulli : cet important modèle de mécanique statistique rend compte des phénomènes d’infiltration en milieu poreux. Si on part du réseau carré mais cette fois-ci efface chaque sommet $(x,y)$ tel que $PGCD(x,y)neq 1$, on obtient maintenant un objet déterministe de nature arithmétique. Est-il possible de former une percolation (véritablement aléatoire donc) riche en informations arithmétiques ?

On va voir que cela est effectivement possible : on peut définir à  quoi ressemble le sous-graphe arithmétique précédent “vu depuis un point tiré uniformément dans le plan”. Ce sous-graphe aléatoire est obtenu selon un “crible d’Ératosthène aléatoire”. On fournira de ce graphe aléatoire une définition élémentaire, puis utilisera le lemme chinois pour faire le pont entre le sous-graphe arithmétique déterministe et sa contrepartie aléatoire. On abordera ensuite brièvement quelques problèmes naturels, comme l’étude des composantes connexes infinies du graphe aléatoire.

The mean-field game (MFG) consists in a differential game of a very large population on a finite or infinite time horizon. In this work, we study the mean-field games with branching, which allows to model the immigration, default and reproduction behaviour in the population. We show how the branching feature would change the formulation of the problem and then provide a general existence result of this new MFG. This is a joint work with Julien Claisse and Zhenjie Ren

Many application domains such as ecology or genomics have to deal with multivariate count data. A typical example is the joint observation of the respective abundances of a set of species in a series of sites, aiming to understand the co-variations between these species. The Gaussian setting provides a canonical way to model such dependencies, but does not apply in general. We adopt here the Poisson lognormal (PLN) model, which is attractive since it allows one to describe multivariate count data with a Poisson distribution as the emission law, while all the dependencies is kept in an hidden friendly multivariate Gaussian layer. While usual maximum likelihood based inference raises some issues in PLN, we show how to circumvent this issue by means of a variational algorithm for which gradient descent easily applies. We then derive several variants of our algorithm to apply PLN to PCA, LDA and sparse covariance inference on multivariate count data. We illustrate our method on microbial ecology datasets, and show the importance of accounting for covariate effects to better understand interactions between species.

We will present some financial and economic problematics arising in discrete-time financial/economic models with a finite time horizon under non-dominated model uncertainty. This means that there exists a set of probability measures representing the agent beliefs and that this set is not dominated by a reference measure.

The technics are based on dynamic programming and measurable selection. We also use analytic sets which display the nice property of being stable by projection or countable unions and intersections but fail to be stable by complementation.

Dans le contexte du calcul d’Itô, il existe plusieurs façons de contraindre la solution d’une équations différentielle dirigée par le mouvement brownien à  rester dans un convexe fermé de l’espace : problème de réflexion de Skorokhod, condition d’invariance, singularités du champs de vecteurs avec force de rappel etc. Le but de cet exposé est de présenter des extensions de ces méthodes aux équations différentielles dirigées par le mouvement brownien fractionnaire, dans le contexte de la théorie des trajectoires rugueuses.

On proposera dans cet exposé une approche probabiliste de reconstruction de généalogies dans les populations végétales polyploïdes (o๠les chromosomes ne vont pas nécessairement par paires). On présentera dans un premier temps une reconstruction dans une population de genêts diploïdes pour lesquels on dispose de la présence/absence de certains allèles spécifiques : la loi de probabilité du modèle s’appuie sur l’équilibre de Hardy-Weinberg. Dans un second temps, on généralisera cela à  une population de rosiers polyploïdes, dont le niveau de ploïdie varie de 2x à  6x (avec une majorité de 4x). Dans un tel modèle, les lois de reproduction sont soumises à  des règles combinatoires et à  la problématique du dosage allélique (par exemple un hétérozygote 4x peut donner lieu à  de nombreux génotypes : ‘aaab’, ‘aabb’, ‘abbb’, ‘aabc’, ‘abbc’, …, ‘abcd’). Notre modèle tient compte de ces phénomènes et propose une arborescence probabilisée des liens génétiques potentiels dans la population.

In Monte-Carlo Tree Search (MCTS), the goal is to adaptively
explore paths in a game tree and perform random leaves evaluation, in
order to quickly discover the best action to take at the root. In this
talk, I will introduce a simple model for MCTS, that can be viewed as a
structured best arm identification problem in a multi-armed bandit
model. After a review of recent advances to tackle the standard best arm
identification (BAI) problem, I will explain how any BAI algorithm can
be converted to a MCTS algorithm. I will then present empirical results
and sample complexity guarantees for two particular algorithms,
UGapE-MCTS and LUCB-MCTS.

This is joint work with Aurélien Garivier (Université de Toulouse) and
Wouter Koolen (CWI, Amsterdam)

La médiane géométrique est souvent utilisée en statistique du fait de sa robustesse. On s’intéresse donc à  des estimateurs rapides de la médiane, qui consistent en des algorithmes de gradient stochastiques moyennés. On définit aussi un nouvel indicateur de dispersion robuste, appelé Matrice de Covariance Médiane, avant d’en donner des estimateurs récursifs. Cette matrice, sous certaines hypothèses, a les mêmes sous-espaces propres que la matrice de covariance, mais est moins sensible aux données atypiques, et est donc très intéressante pour l’Analyse en Composantes Principales Robuste. Travail joint avec Hervé Cardot et Peggy Cénac (Université de Bourgogne).