Probabilities and Statistic seminar

The aim of this presentation is to show different results obtained in the field of semi-Markov processes focusing on risk/reliability indicators and related statistical inference aspects. The first part concerns discrete-time semi-Markov processes which are defined in a finite state space. Theoretical results are obtained in terms of evaluation and statistical estimation of risk indicators such as the mean time to failure. The asymptotic behavior of the empirical estimators is studied in the case of one single (large) trajectory. The results are illustrated on both real and simulated wind data. The second part of the presentation concerns partially observed semi-Markov chains such as the hidden Markov renewal and the hidden semi-Markov chains. Statistical estimation results are presented for reliability indicators such as the failure occurrence rate. In the third part, we present bootstrap estimators of risk indicators when the state space is discrete along with posterior concentration rates of the kernel density when the state space is continuous.

(Exposé en français avec des diapositives en anglais.)

Stochastic partial differential equations (SPDEs) are a major subject of current research in probability and analysis, with rich methodologies for studying existence and regularity. At the same time, SPDEs are increasingly used as statistical models for spatially and temporally structured data, where inference requires learning unknown parameters or functions from observations. In this talk, we consider Bayesian inference for the reaction function in a stochastic reaction-diffusion equation, based on a single solution trajectory observed continuously in space over a fixed time interval. We place a Gaussian process prior on the reaction function and derive posterior contraction rates in a novel asymptotic regime in which the spatial domain grows while the observation horizon remains fixed. In this setting, the SPDE solution becomes spatially ergodic and converges to a stationary process, which allows us to prove concentration inequalities for spatial averages of the solution. The proofs combine tools from Malliavin calculus – most notably the Clark–Ocone formula – with sharp bounds on the marginal densities of the SPDE.

Programme à venir.

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Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

Dans cet exposé je parlerai du processus de contact sous critique. Ce processus modélise une infection qui s’éteint presque sà»rement si on commence avec un nombre fini de particules infectées et qu’on choisit un paramètre d’infection suffisamment petit. Mais que se passe-t-il si, dans ce même régime, on part cette fois d’un nombre infini de particules infectées? Je présenterai un travail en collaboration avec Leonardo T. Rolla o๠nous donnons une description des configurations asymptotiques. Une configuration sera décrite par la collection des “emplacements macroscopiques” des zones de particules infectées et par la position relative de ces particules dans chaque zone (faisant intervenir la distribution quasi stationnaire du processus de contact modulo translation). Ce travail est une extension d’un résultat de Andjel, Ezanno, Groisman et Rolla qui décrit le processus de contact sous critique vu depuis la particule la plus à  droite en dimension 1.

After presenting the optimal stopping problem and a classical example, we present some recent results in optimal stopping for Lévy processes and multidimensional diffusions. The possibility of extending this results to one-dimensional diffusion with discontinuous coefficients will be discussed.

Realized statistics based on high frequency returns have become very
popular in financial economics.In recent years,
different non-parametric estimators of the variation of a log-price
process have appeared. Among them are the realized
quadratic (co-)variation which is perhaps the most well known example,
providing a consistent estimator of the integrated
(co-)volatility when the logarithmic price process is continuous. In
this paper, we propose to study the large deviation
properties of realized (co-)volatility. Our main motivation is to
improve upon the existing limit theorems such as the weak law
of large numbers or the central limit theorem which have been proved in
different contexts. Our large deviations results can
be used to evaluate and approximate tail probabilities of realized
(co-)volatility. As an application we provide the large deviations
for the standard dependence measures between the two assets returns such
as the realized regression coefficients or the
realized correlation. Our study should contribute to the recent trend of
research on the (co-)variance estimation problems, which
are quite often discussed in high-frequency financial data analysis.

Nous nous intéresserons aux liens qui existent entre deux échelles de modélisation neurobiologique. A un niveau microscopique, l’activité électrique de chaque neurone est représentée par un processus ponctuel. à  une plus grande échelle, un système d’EDP structuré en âge décrit la dynamique moyenne de ces activités. Nous montrerons que le modèle macroscopique (système d’EDP) peut se retrouver à  partir d’un réseau de $ n$ neurones en champ-moyen quand $ n$ tend vers $+infty$ via une “Loi des grands nombres”. De plus, les fluctuations du réseau de $ n$ neurones autour du comportement limite/macroscopique sont caractérisées par un “Théorème central limite”. Cette étude finale permet la dérivation d’un système d’EDP stochastique, plus proche de la dynamique microscopique que le système d’EDP classique.

Nous considérons un modèle d’appariement d’entités générées aléatoirement, pour lequel les paires possibles sont fixées par un graphe simple de compatibilité. Ce modèle, qui a des applications naturelles à  l’économie participative, la gestion des banques de sang et d’organes et aux chaînes de production, généralise celui d’appariement biparti de Kaldentey, Kaplan et Weiss à  un graphe non-nécessairement biparti. La stabilité du système est étudiée suivant les propriétés structurelles du graphes de compatibilité. Nous proposons une classe de graphes pour lesquels la zone de stabilité ne dépend pas de la politique d’appariement (i.e. l’ordre de priorité en cas de choix multiple), et une réciproque partielle. En outre, nous montrons sous certaines conditions l’existence d’une forme produit particulière pour sa représentation Markovienne sous la politique “Premier entré, premier marié.” Des connexions de ces résultats avec la théorie classique d’appariement dans les graphes (et dans les grands graphes aléatoires) seront aussi proposées. (travaux joints avec Jean Mairesse, Ana Busic et Ohad Perry).

La Mécanique Statistique s’est révélée être un cadre bien adapté à  l’étudedes propriétés physiques des polymères en interaction avec un milieu extérieur.Les questions principales auxquelles les mathématiciens tentent de répondre concernentles transitions de phase (localisation, effondrement etc.) auxquelles les modèles de polymèredonnent lieu, mais également les propriétés géométriques typiquesd’un polymère dans un milieu donné, et à  une température donnée.Dans cet exposé je développerai plus particulièrement les résultats obtenusconcernant la transition d’effondrement d’un modèle de marche aléatoirepartiellement dirigée en auto-interaction, introduit par Zwanzig et Lauritzen (Jour. Chem. Phys. 1968)pour étudier le comportement d’un homopolymère plongé dans un solvant pauvre. Je présenterai également un résultatrécent d’existence de la transition d’effondrement pour une variante non dirigée de ce modèle.Il s’agit de travaux en collaboration avec Philippe Carmona, Gia Bao Nguyen et Niccolo Torri.

Le modèle des graphes aléatoires hyperboliques était introduit comme un modèle prometteur pour les réseaux complexes. Nous considérons le modèle de Krioukov et al. et nous calculons le trou spectral de la Laplacienne de ce modèle. Plus précisément, nous montrons que $ lambda_2$ d’un tel graphe est $ Omega(n^{-(2alpha-1)}/polylog(n))$, o๠$ n$ est le nombre de noeuds et $ 1/2 < alpha < 1$ est un paramètre du modèle. Nous concluons aussi que la borne supérieure de $ lambda_2$ obtenue par l'inégalité de Cheeger est presque atteinte. Nous caractérisons aussi les ensembles des noeuds pour lesquelles cette borne est atteinte.
(travail en collaboration avec Marcos Kiwi)

Le TASEP est un système de particules sur $ mathbb{Z}$ dans lequel chaque particule essaie indépendamment de sauter d’un pas vers la droite aux instants d’un processus de Poisson, le saut n’ayant lieu que si le site visé est libre. C’est un modèle ultra-simplifié de trafic routier. Le flux de particules est une fonction explicite, strictement concave, de la densité moyenne. Ce caractère explicite, lié à  la connaissance explicite des mesures invariantes du processus, persiste si l’on ajoute du désordre de particules, en faisant varier l’intensité du processus de Poisson d’une particule à  l’autre (véhicules lents/rapides). On observe alors une transition entre un régime laminaire à  basse densité, ou le courant est linéaire, et un régime d’exclusion à  haute densité. Dans le cas du désordre de site (sites rapides/sites lents), les mesures invariantes ne sont plus connues, et la fonction courant n’est plus explicite. Nous démontrons que le courant présente un plateau autour de la densité 1/2 et obtenons la limite explicite de cette fonction et de la taille du plateau dans la limite du désordre dilué. Notre preuve repose sur un argument de renormalisation appliqué à  la percolation de dernier passage, et des idées d’homogénéisation.
(Travail en collaboration avec Thierry Bodineau)

On se donne une famille de mesures réelles indexées sur R. Ces mesures sont les marges de nombreux processus très différents les uns des autres. On pense d’abord au processus indépendant (dont la loi est la mesure produit) qui est markovien, ou au processus quantile (alias comonotone) qui préserve l’ordre des quantiles. Je présenterai un nouveau processus qui combine les deux propriétés, dans un sens précis, et dont je donnerai des exemples variés. Nous verrons une application intéressante à  la théorie du transport et comment l’existence du processus complète les résultats de Kellerer sur les peacocks. Il s’agit un travail en collaboration avec Charles Boubel.

Nous étudions la percolation gelée et les processus de feux de foràƒÂªts. La percolation gelée est un processus de percolation oàƒÂ¹ chaque composante connexe arràƒÂªte de croàƒÂ®tre (“gàƒÂ¨le”) dàƒÂ¨s qu’elle devient infinie. Ce modàƒÂ¨le a été introduit par Aldous en 1999 sur l’arbre binaire, et nous discutons un processus analogue en deux dimensions, pour lequel les composantes connexes gàƒÂ¨lent dàƒÂ¨s qu’elles contiennent au moins N sommets, pour un certain paramàƒÂ¨tre N. En particulier, nous prouvons que la densité de sites gelés tend vers 0 lorsque N tend vers l’infini, et nous établissons une propriété de “déconcentration” pour les tailles des composantes connexes. Nous évoquons également des résultats similaires pour les feux de foràƒÂªts. ApràƒÂ¨s une introduction générale sur la percolation indépendante, nous présentons en détail les principaux outils pour décrire sa transition de phase en deux dimensions. Cette compréhension de la percolation pràƒÂ¨s du point critique joue un ràƒÂ´le fondamental dans nos résultats. Cet exposé est basé sur des travaux en collaboration avec Rob van den Berg (CWI and VU, Amsterdam) et Demeter Kiss (U. Cambridge).