Complex geometry seminar

Travail en collaboration avec Marta Agustà­n Vicente. L’objet de cet exposé est l’étude des nombres de Betti de la cohomologie d’intersection (rationnelle) des variétés algébriques complexes compactes dotées d’une action d’un tore algébrique dont les orbites générales sont de codimension un. De telles variétés admettent une description géométrique et combinatoire en termes d’éventails divisoriels (notion généralisant le passage d’un éventail de cones rationnels à  une variété torique). Cette description encode la donnée d’un morphisme birationnel propre (le morphisme de contraction) dont le but est notre variété initiale et la source est une fibration torique au dessus d’une courbe algébrique lisse. En utilisant des travaux récents de de Cataldo, Migliorini et Mustata, et en étudiant le théorème de décomposition pour l’application de contraction, nous expliquerons comment on peut décrire les nombres de Betti de façon récursive en fonction de l’eventail divisoriel associé.

Soit X une variété compacte kählérienne. Le problème de Kodaira demande si X admet toujours une déformation au-dessus d’une base qui contient une partie dense paramétrant des variétés projectives. Pour les surfaces, une telle déformation existe toujours (Kodaira), tandis qu’en chaque dimension plus grande que 4, il existe des variétés répondant négativement à  ce problème (Voisin). Dans cet exposé, nous expliquerons notre solution au problème de Kodaira pour les variétés de dimension 3.

On va présenter une caractérisation birationnelle des
variétés abéliennes comme les variétés de dimension de Kodaira 0
telles
que une puissance symétrique du cotangent soit génériquement engendrée
par les sections globales.
Après avoir donné une idée de la preuve,
on va montrer quelques unes des propriétés de positivité de fibrés
vectoriels qui ont motivé ce résultat:
la construction des lieux de base asymptotiques et de la fibration de Kodaira.

What properties should a projective variety over a number field with only finitely many “rational points” have?
A conjecture of Green-Griffiths-Lang predicts that such a variety should be hyperbolic in a complex-analytic sense.
In this talk I will explain how to verify some predictions made by this conjecture.

Etant donné un automorphisme (ou une transformation birationnelle) f d’une variété projective complexe X, on s’intéresse à  des propriétés dynamiques telles que le comportement des orbites typiques ou l’existence de points périodiques. Cette étude est simplifiée lorsque f permute les fibres d’une fibration non-triviale $picolon X to B$: la dynamique est alors décomposée en une dynamique sur la base B plus une dynamique sur les fibres. Une des premières questions est alors de déterminer sous quelles conditions la dynamique sur la base est finie; je présenterai un résultat dans cette direction, dont la preuve passe par un argument d’intégration p-adique. Le critère s’applique notamment aux transformations birationnelles des variétés symplectiques holomorphes irréductibles.
Si le temps me le permet, je présenterai des travaux plus récents en collaboration avec E.Rousseau et F.Touzet, qui traitent une version locale du même problème: au lieu d’une fibration, on suppose que f préserve un feuilletage F et on se demande sous quelles hypothèses un itéré de f préserve toute feuille de F.

En théorie des nombres, la suite de Brauer-Hasse-Noether est un résultat fondamental qui permet de comprendre les algèbres simples centrales sur le corps des nombres rationnels (ou ses extensions finies). Dans cet exposé, je vais présenter des généralisations de ces suites à  des situations plus géométriques, o๠le corps des nombres rationnels est remplacé par un corps de séries de Laurent à  deux variables.

Étant donné une courbe lisse C plongée dans sa Jacobienne J par une application d’Abel-Jacobi, le schéma de Hilbert H de J contenant le point [C] pour ce plongement est égal à  J en tant qu’ensemble. Cette égalité est schématique si C n’est pas hyperelliptique. Dans cet exposé on décrit la structure non-réduite de H le long de J dans le cas hyperelliptique. On en déduit en corollaire la structure de schéma sur l’espace des modules des faisceaux de Picard sur J, introduit par Mukai.

In 1962 Shafarevich conjectured that the base quasi-projective curve of any smooth, non-isotrivial family of projective curves with genus >1 is hyperbolic, which was proved by Parshin and Arakelov. The higher dimensional Shafarevich hyperbolicity conjecture (SHC) can be formulated as follows: let Y be the quasi-projective base of any family of canonically polarized manifolds whose induced moduli map is quasi-finite. Then Y is of log general type (algebraic version) , and Y is Kobayashi hyperbolic (analytic version). The algebraic SHC was proved by Campana-Păun in 2015, combining previous work by Viehweg-Zuo. The analytic SHC was first proved by Viehweg-Zuo in 2002 for Brody hyperbolicity, and later by To-Yeung in 2014 for Kobayashi hyperbolicity. In this talk, I will present my recent work (jointly with Abramovich) on the extension of the aforementioned work by To-Yeung, to the moduli spaces of minimal projective manifolds.

I will recall the stacks of shtukas, their cohomologies and constant term morphisms. Then I will show that the contractibility of deep enough strata implies that the cohomologies are Hecke algebra modules of finite type. Then we can extend the definition of the excursion operators of V.Lafforgue from the space of cuspidal automorphic forms to the space of automorphic forms.