Complex geometry seminar

Étant donnée une surface $X$, plusieurs programmes mathématiques plus ou moins récents et souvent inspirés par la physique se penchent sur les espaces dits “de modules” $M$ paramétrisant les fibrés vectoriels à  isomorphisme près. Une approche standard est d’exploiter la structure symplectique du cotangent $T^*M$ de tels espaces et d’en tirer des propriétés intéressantes. C’est dans ce cadre qu’Hitchin a le premier défini les fibrés dits de Higgs. Dans cet exposé j’approcherai ces problématiques par l’étude de ce qui peut-être vu comme un analogue discret du précédent problème: les représentations de carquois. Dans un premier temps j’expliquerai une formule précise illustrant cette analogie, basée sur des travaux de Schiffmann puis Mellit, et motivée par des conjectures établies par Hausel, Letellier et Rodriguez Villegas. Cette formule donne le nombre de composantes d’une sous-variété Lagrangienne de $T^*M$, qui peut être comprise comme un analogue du cône nilpotent en théorie de Lie. Dans un second temps je donnerai une description combinatoire de ces composantes.

I will briefly recall what is known about the rationality problem for smooth projective hypersurfaces. I then aim to explain how to prove the following new result: a very general hypersurface of dimension n>2 and degree at least log_2(n)+2 is not stably rational.

I will briefly recall what is known about the rationality problem for smooth projective hypersurfaces. I then aim to explain how to prove the following new result: a very general hypersurface of dimension n>2 and degree at least log_2(n)+2 is not stably rational.

L’étude des régulateurs revêt une importance toute particulière dans la compréhension du nombre du classes dans les familles de corps de nombres, et dans la compréhension de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer dans le cas des variétés abéliennes. Ils jouent de plus un rôle clef dans les questions d’estimations sur le nombre de points rationnels de hauteur bornée sur une variété projective.
On présentera dans cet exposé trois inégalités, et les corollaires qui leur sont associés. La première, initiatrice de cet axe de recherche, est une minoration du régulateur des corps de nombres en fonction de leur discriminant et de leur degré : elle repose sur des travaux de Silverman et Friedman. La seconde concerne le régulateur des groupes de Mordell-Weil et la hauteur de Faltings des variétés abéliennes : elle est encore conjecturale. La troisième est inconditionnelle et concerne plus particulièrement les courbes elliptiques, elle fait l’objet d’un article récent en collaboration avec Pascal Autissier et Marc Hindry.

The question whether a class of varieties with fixed invariants form a bounded family is a crucial problem in algebraic geometry. In this talk I will report on such question from the point of view of Mori theory. In particular, in a joint work with D. Martinelli and S. Schreieder we treated the case of log minimal models of general type. I will also explain related results on the number of minimal models.

The Mumford-Tate conjecture relates the Hodge structure on the singular
cohomology of an algebraic variety (over a number field) with the
Galois
representation on the etale cohomology of that variety. In this talk I
will report on techniques for proving the Mumford-Tate conjecture for
products of abelian varieties, under the assumption that the conjecture
is known for the factors.

I will address the question to which extent properties of the canonical class of a projective variety with mild singularities depend on its numerical class, in light of recent surprising connections between several central conjectures in birational geometry. This is joint work with Thomas Peternell.

Depuis le théorème de décomposition de Bogomolov, les variétés hyperkählériennes jouent un rôle important en géométrie algébrique, elles peuvent être considérées comme des briques élémentaires dans le projet de classification des variétés kählériennes. En 2011, Verbitsky démontre un outil fondamental à  l’origine de nombreux développements : le théorème de Torelli global. L’idée est de pouvoir retrouver la géométrie de la variété à  partir de la structure de Hodge de son second groupe de cohomologie comme dans le cas des surfaces K3. Une orbifolde est une généralisation de variété constituée par le recollement de quotients d’ouverts de C^n par des groupes finis. Dans cet exposé nous verrons, dans les grandes lignes, comment le théorème de Torelli global peut être étendu au cas des orbifoldes symplectiques irréductibles.

A conjecture of Green-Griffiths-Lang predicts that a projective variety of general type does not admit a dense entire curve in the complex analytic topology.
We propose and investigate a non-archimedean analogue of this conjecture in which we replace “dense entire curve in the complex analytic topology” by “dense entire curve in the non-archimedean topology”. This is joint work with Alberto Vezzani.

A question of Orlov is whether the derived category of the Grothendieck-Knudsen moduli space M(0,n) of stable, rational curves with n markings admits a full, strong, exceptional collection that is invariant under the action of the symmetric group S_n. A consequence of the conjecture is
that the S_n representation given by the cohomology is a permutation representation. After an introduction to moduli
spaces of stable rational curves and exceptional collections, I will present an approach towards answering this question (joint work with Jenia Tevelev).