Complex geometry seminar

L’existence de métriques canoniques sur les variétés sphériques, une
classe très riche de variétés presque homogènes, doit être régie par des
conditions combinatoires. Dans le cas des métriques de Kähler-Einstein
lisses, j’ai pu le vérifier d’un point de vue purement algébro-géométrique
via la K-stabilité. Pour étudier le cas d’autres métriques canoniques, il
faut développer la géométrie Kählérienne des variétés sphériques. Je
présenterai des travaux dans cette direction, avec des applications aux
métriques cscK ou log Kähler-Einstein.

Les objets de l’exposé sont les groupes algébriques commutatifs
sur un corps arbitraire. Leur structure est bien comprise lorsqu’on
se restreint aux groupes linéaires sur le corps des complexes, mais le
cas général est beaucoup plus compliqué dès la dimension 2. L’exposé
présentera des résultats classiques et récents sur la catégorie abélienne
formée des groupes algébriques commutatifs et de leurs morphismes ;
on développera l’analogie avec la catégorie des faisceaux cohérents
sur une variété algébrique.

Hilbert a démontré qu’un polynôme réel en deux variables qui prend des valeurs positives est somme de quatre carrés de fractions rationnelles. Cassels, Ellison et Pfister ont montré que ce résultat est optimal : il existe de tels polynômes qui ne sont pas sommes de trois carrés de fractions rationnelles. Dans cet exposé, nous expliquerons pourquoi les polynômes qui peuvent s’écrire comme sommes de trois carrés sont denses dans l’ensemble de ceux qui sont positifs.