Complex geometry seminar

Geometric methods in computational complexity

In 1988 Simpson proved a uniformization theorem which characterizes complex projective manifolds and quasi-projective curves whose universal coverings are complex unit balls. In this talk, I will give a necessary and sufficient condition for quasi-projective manifolds to be uniformized by complex unit balls, via stability of (logarithmic) Higgs bundles. This is based on a joint work with Benoit Cadorel.

Dans cet exposé nous montrerons, en suivant l’article de Greb-Guenancia-Kebekus, qu’une variété projective klt à  fibré canonique numériquement trivial et dont le fibré tangent est fortement stable est, à  revêtement quasi étale près, soit une variété de CY soit une variété de Calabi-Yau soit une variété irréductible symplectique.

https://bul.univ-lorraine.fr/index.php/s/WDWrwG4sMHcHoso

Les variétés singulières à  canonique numériquement trivial ont
reçu un intérêt récent, notamment dans des travaux de Greb, Guénancia,
Kebekus, Druel, Höring, Peternell, Campana… qui aboutissent à  un
théorème de décomposition “à  la Beauville-Bogomolov” dans le cadre
singulier assez large (klt). Ces travaux participent également à 
comprendre la structure du faisceau tangent d’une variété singulière à 
canonique numériquement trivial; pour des variétés relativement peu
singulières (klt lisses en codimension 2, par exemple terminales),
Höring et Peternell établissent un lien entre la positivité
(pseudoeffectivité) du faisceau tangent à  une variété et la présence
d’une facteur abélien dans sa décomposition de Beauville-Bogomolov
singulière.

Dans cet exposé, je discuterai des outils permettant de traiter la
positivité d’un faisceau réflexif sur une variété à  singularités klt,
comme la seconde classe de Chern orbifold : c’est un bon cadre pour le
faisceau tangent d’une variété à  singularités klt. J’expliquerai comment
utiliser ces outils pour généraliser l’énoncé de Höring et Peternell à 
des variétés à  singularités klt, et en présenterai quelques autres
utilités.

Un résultat d’Arapura et Archava montre qu’un produit symétrique d’une variété X de type général est aussi de type général, dès que X est de dimension au moins 2 ; il s’agit essentiellement de montrer que les singularités de ce produit sont canoniques. Ce résultat mène naturellement à  un certain nombre de questions : si X est hyperbolique, les produits symétriques le sont-ils aussi ? à  l’inverse, la propriété “spéciale” de F. Campana est-elle invariante par produit symétrique ?

Ces questions forment en général un problème plus difficile qu’il n’y parait ; on verra que sans des hypothèses supplémentaires sur la variété X, les réponses sont en général négatives. Cependant, sous certaines hypothèses de positivité naturelles sur X, on peut obtenir des contraintes fortes sur les courbes entières tracées sur les produits symétriques. Ceci permet notamment de construire de nombreux exemples de produits symétriques hyperboliques, en choisissant un X adéquat (par exemple une hypersurface ou intersection complète de haut degré, un quotient de domaine symétrique borné…)

Il s’agit d’un travail en commun avec F. Campana et E. Rousseau.

soit G un groupe réductif déployé sur un corps K muni d’une
valuation à  valeurs dans R. Dans les années 70, Bruhat et Tits ont
construit un espace appelé « immeuble » sur lequel G agit. On peut alors
étudier G via son action sur l’immeuble.

Je parlerai d’une généralisation de cette construction que nous avons
obtenue avec Diego Izquierdo et Benoit Loisel dans le cas o๠la
valuation est à  valeur dans un groupe abélien totalement ordonné Lambda
quelconque.

C’est un travail commun avec Erwan Rousseau (arXiv:2006.13515). Nous explorons la positivité des fibrés cotangents logarithmiques et orbifoldes le long d’arrangements d’hyperplans dans l’espace projectif. Nous montrons qu’un exemple très intéressant de Noguchi (1986) peux être généralisé très largement. Les ingrédients clés de notre approche sont l’utilisation de recouvrements de Fermat et la production de différentielles symétriques explicites, dans le cadre orbifolde de Campana. Ceci nous permet d’obtenir des nouveaux résultats dans la lignée de plusieurs résultats classiques concernant les arrangements d’hyperplans.

J’exposerai un travail en collaboration avec Julien Marché au sujet de la variété des SL(2,C)-caractères d’un groupes de surface hyperbolique. Nous montrons que son groupe d’automorphismes algébriques est une extension finie du groupe modulaire de la surface. Nous obtenons au passage une description simple des laminations mesurées en termes de valuations.(N.B.: Exposé en ligne)

Résumé