Complex geometry seminar

We prove that the integral Hodge conjecture holds for 1-cycles on irreducible holomorphic symplectic varieties of K3 type and of Generalized Kummer type. As an application, we give a new proof of the integral Hodge conjecture for cubic fourfolds.

Grâce à  Borcea, Dolgachev, Nikulin et Voisin il existe une version enrichie de la symétrie miroir qui s’applique aux surfaces K3, cas dans lequel l’énoncé ordinaire est trivial. Nous la traitons comme le point de départ d’un énoncé qui s’applique en dimension quelconque. Pour énoncer le théorème principal on revisitera l’énoncé de la correspondance de McKay qui relie une singularité et sa résolution. C’est un travail en collaboration avec Kalashnikov et Veniani.

Ceci est un travail en commun avec Ya Deng. Étant donnée une paire (X,D) composée d’une variété complexe projective lisse X et d’un diviseur à  croisements normaux simples D, la positivité du fibré cotangent logarithmique de (X,D) a de fortes implications sur les propriétés géométriques du complémentaire de D dans X, notamment sur ses propriétés d’hyperbolicité. Dès que X est de dimension plus grande que deux et que D est non-vide, le fibré cotangent logarithmique de (X,D) ne peut pas être ample. Dans cet exposé nous donnerons une description des obstructions à  l’amplitude et exhiberons des exemples o๠le cotangent logarithmic est “aussi ample que possible”.

Il s’agit d’un travail en collaboration avec O.Debarre, K.O’Grady et C.Voisin. Debarre et Voisin ont construit une famille de variétés projectives hyperkählériennes de dimension 4 associées aux trivecteurs sur un espace vectoriel complexe de dimension 10. Ces variétés sont des déformations de schémas de Hilbert paramétrant les schémas de longueur 2 d’une surface K3. Nous étudions ici le problème de réaliser de tels schémas de Hilbert comme variétés de Debarre-Voisin avec un intéret particulier pour les surfaces K3 polarisées de petit degré.

En 1974, Igor Shafarevich demande si les revêtements universels des variétés projectives sont toujours des variétés holomorphiquement convexes. Une réponse positive est donnée par Philippe Eyssidieux en 2004, dans le cas o๠le groupe fondamental de la variété admet une représentation linéaire fidèle. L’ingrédient principal de sa preuve est la théorie de Hodge non-abélienne qui établit une correspondance entre représentations du groupe fondamental et fibrés de Higgs sur la variété.
Depuis mes travaux de thèse, on dispose d’applications de périodes généralisées pour comprendre différemment cette correspondance. J’expliquerai ce que sont ces applications et comment on les utilise – dans un travail en cours avec Yohan Brunebarbe – pour étendre la preuve d’Eyssidieux à  des variétés quasi-projectives.

Étant donnée une surface $X$, plusieurs programmes mathématiques plus ou moins récents et souvent inspirés par la physique se penchent sur les espaces dits “de modules” $M$ paramétrisant les fibrés vectoriels à  isomorphisme près. Une approche standard est d’exploiter la structure symplectique du cotangent $T^*M$ de tels espaces et d’en tirer des propriétés intéressantes. C’est dans ce cadre qu’Hitchin a le premier défini les fibrés dits de Higgs. Dans cet exposé j’approcherai ces problématiques par l’étude de ce qui peut-être vu comme un analogue discret du précédent problème: les représentations de carquois. Dans un premier temps j’expliquerai une formule précise illustrant cette analogie, basée sur des travaux de Schiffmann puis Mellit, et motivée par des conjectures établies par Hausel, Letellier et Rodriguez Villegas. Cette formule donne le nombre de composantes d’une sous-variété Lagrangienne de $T^*M$, qui peut être comprise comme un analogue du cône nilpotent en théorie de Lie. Dans un second temps je donnerai une description combinatoire de ces composantes.

I will briefly recall what is known about the rationality problem for smooth projective hypersurfaces. I then aim to explain how to prove the following new result: a very general hypersurface of dimension n>2 and degree at least log_2(n)+2 is not stably rational.

I will briefly recall what is known about the rationality problem for smooth projective hypersurfaces. I then aim to explain how to prove the following new result: a very general hypersurface of dimension n>2 and degree at least log_2(n)+2 is not stably rational.

L’étude des régulateurs revêt une importance toute particulière dans la compréhension du nombre du classes dans les familles de corps de nombres, et dans la compréhension de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer dans le cas des variétés abéliennes. Ils jouent de plus un rôle clef dans les questions d’estimations sur le nombre de points rationnels de hauteur bornée sur une variété projective.
On présentera dans cet exposé trois inégalités, et les corollaires qui leur sont associés. La première, initiatrice de cet axe de recherche, est une minoration du régulateur des corps de nombres en fonction de leur discriminant et de leur degré : elle repose sur des travaux de Silverman et Friedman. La seconde concerne le régulateur des groupes de Mordell-Weil et la hauteur de Faltings des variétés abéliennes : elle est encore conjecturale. La troisième est inconditionnelle et concerne plus particulièrement les courbes elliptiques, elle fait l’objet d’un article récent en collaboration avec Pascal Autissier et Marc Hindry.

The question whether a class of varieties with fixed invariants form a bounded family is a crucial problem in algebraic geometry. In this talk I will report on such question from the point of view of Mori theory. In particular, in a joint work with D. Martinelli and S. Schreieder we treated the case of log minimal models of general type. I will also explain related results on the number of minimal models.