Complex geometry seminar

The Mumford-Tate conjecture relates the Hodge structure on the singular
cohomology of an algebraic variety (over a number field) with the
Galois
representation on the etale cohomology of that variety. In this talk I
will report on techniques for proving the Mumford-Tate conjecture for
products of abelian varieties, under the assumption that the conjecture
is known for the factors.

I will address the question to which extent properties of the canonical class of a projective variety with mild singularities depend on its numerical class, in light of recent surprising connections between several central conjectures in birational geometry. This is joint work with Thomas Peternell.

Depuis le théorème de décomposition de Bogomolov, les variétés hyperkählériennes jouent un rôle important en géométrie algébrique, elles peuvent être considérées comme des briques élémentaires dans le projet de classification des variétés kählériennes. En 2011, Verbitsky démontre un outil fondamental à  l’origine de nombreux développements : le théorème de Torelli global. L’idée est de pouvoir retrouver la géométrie de la variété à  partir de la structure de Hodge de son second groupe de cohomologie comme dans le cas des surfaces K3. Une orbifolde est une généralisation de variété constituée par le recollement de quotients d’ouverts de C^n par des groupes finis. Dans cet exposé nous verrons, dans les grandes lignes, comment le théorème de Torelli global peut être étendu au cas des orbifoldes symplectiques irréductibles.

A conjecture of Green-Griffiths-Lang predicts that a projective variety of general type does not admit a dense entire curve in the complex analytic topology.
We propose and investigate a non-archimedean analogue of this conjecture in which we replace “dense entire curve in the complex analytic topology” by “dense entire curve in the non-archimedean topology”. This is joint work with Alberto Vezzani.

A question of Orlov is whether the derived category of the Grothendieck-Knudsen moduli space M(0,n) of stable, rational curves with n markings admits a full, strong, exceptional collection that is invariant under the action of the symmetric group S_n. A consequence of the conjecture is
that the S_n representation given by the cohomology is a permutation representation. After an introduction to moduli
spaces of stable rational curves and exceptional collections, I will present an approach towards answering this question (joint work with Jenia Tevelev).

Travail en collaboration avec Marta Agustà­n Vicente. L’objet de cet exposé est l’étude des nombres de Betti de la cohomologie d’intersection (rationnelle) des variétés algébriques complexes compactes dotées d’une action d’un tore algébrique dont les orbites générales sont de codimension un. De telles variétés admettent une description géométrique et combinatoire en termes d’éventails divisoriels (notion généralisant le passage d’un éventail de cones rationnels à  une variété torique). Cette description encode la donnée d’un morphisme birationnel propre (le morphisme de contraction) dont le but est notre variété initiale et la source est une fibration torique au dessus d’une courbe algébrique lisse. En utilisant des travaux récents de de Cataldo, Migliorini et Mustata, et en étudiant le théorème de décomposition pour l’application de contraction, nous expliquerons comment on peut décrire les nombres de Betti de façon récursive en fonction de l’eventail divisoriel associé.

Soit X une variété compacte kählérienne. Le problème de Kodaira demande si X admet toujours une déformation au-dessus d’une base qui contient une partie dense paramétrant des variétés projectives. Pour les surfaces, une telle déformation existe toujours (Kodaira), tandis qu’en chaque dimension plus grande que 4, il existe des variétés répondant négativement à  ce problème (Voisin). Dans cet exposé, nous expliquerons notre solution au problème de Kodaira pour les variétés de dimension 3.

On va présenter une caractérisation birationnelle des
variétés abéliennes comme les variétés de dimension de Kodaira 0
telles
que une puissance symétrique du cotangent soit génériquement engendrée
par les sections globales.
Après avoir donné une idée de la preuve,
on va montrer quelques unes des propriétés de positivité de fibrés
vectoriels qui ont motivé ce résultat:
la construction des lieux de base asymptotiques et de la fibration de Kodaira.

What properties should a projective variety over a number field with only finitely many “rational points” have?
A conjecture of Green-Griffiths-Lang predicts that such a variety should be hyperbolic in a complex-analytic sense.
In this talk I will explain how to verify some predictions made by this conjecture.