Séminaires

C’est un travail commun avec Damian Brotbek. Nous prouvons que toute variété projective lisse M contient des sous-variétés avec cotangent ample en toute dimension $nleq dim(M)/2$. Nous construisons de telles variétés comme certaines intersections complètes.

Soient $S$ une surface et $V$ le $mathbb{Q}$-espace vectoriel des diviseurs modulo équivalence numérique. Le produit d’intersection définit un accouplement parfait sur $V$. On sait depuis les années Trente qu’il est de signature $(1,n)$. Dans les années Soixante Grothendieck a conjecturé une généralisation de cet énoncé aux cycles de codimension quelconque sur des variétés générales. En caractéristique zéro cette conjecture est une conséquence des relations de Hodge Riemann. En caractéristique positive assez peu est connu. Nous expliquerons comment démontrer cette conjecture pour les variétés abéliennes de dimension quatre.

We introduce a new method to obtain Harnack inequalities for extrinsic curvature flows such as the mean curvature flow and more general fully nonlinear flows. For example, this method allows us to deduce Harnack inequalities for the mean curvature flow in locally symmetric (Riemannian or Lorentzian) Einstein spaces, for flows with convex speeds in the De Sitter space and for the Gauss curvature flow in Minkowski space.

Une forme réelle d’une variété algébrique complexe $X$ est une variété réelle dont la complexification est isomorphe à  $X$. Dans cet exposé, nous nous intéresserons au problème de la finitude des classes d’isomorphisme des formes réelles des surfaces rationnelles (posé par Kharlamov pour les surfaces projectives lisses en général). Nous montrerons d’abord que toute surface rationnelle dont le groupe d’automorphismes ne contient pas un groupe libre a un nombre fini de formes réelles. Nous verrons ensuite que certaines surfaces rationnelles à  « grands » groupes d’automorphismes ont également un nombre fini de formes réelles, comme les paires KLT Calabi-Yau ou les surfaces Cremona-spéciales.

Etant donné une surface K3 projective $S$, d’après le travail de Beauville et Voisin (2004), il existe une classe canonique $c_S$ dans le groupe de Chow des zéro-cycles $mathrm{CH}_0(S)$, qui vérifie la propriété que l’intersection des deux diviseurs, ainsi que la classe de Chern du fibré tangent, est toujours un multiple de $c_S$. On conjecture l’existence de telle classe aussi pour toute variété Calabi-Yau. Dans un travail en commun avec Hsueh-Yung Lin en cours, nous étudierons le cas des variétés Calabi-Yau de dimension 3 avec une structure de fibration.

Cet exposé est la suite de celui du 1er février.

On décrira la cohomologie d’intersection avec le point de vue du complexe de faisceaux d’intersection. Ceci permet de comprendre pourquoi la cohomologie d’intersection ne dépend pas de la filtration de Whitney choisie et est un invariant topologique.

Une fibration lc-triviale f:(X,B)->Y est une fibration telle que le diviseur log-canonique de la paire (X,B) est trivial le long des fibres de f. Comme dans le cas de la formule du fibré canonique pour des fibrations elliptiques, le diviseur log-canonique peut être écrit comme la somme du tiré en arrière de trois diviseurs : le diviseur canonique de Y; un diviseur, appelé discriminant, qui contient des informations sur les fibres singulières ; un diviseur appelé partie modulaire qui contient des informations sur la variation birationnelle des fibres. Il est conjecturé que la partie modulaire est semiample. Ambro a demontré la conjecture quand la base Y est une courbe. Dans cet expose on expliquera une stratégie pour démontrer la conjecture quand la base est une surface. Il s’agit d’un travail en cours en collaboration avec Vladimir Lazic.

Nous étudions les propriétés régularisantes du flot de Ricci dans un contexte kählerien. Nous donnons des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une résolution Kähler d’un cône métrique Kähler admette une unique structure de soliton de Kahler-Ricci gradient expansif asymptotiquement conique. En particulier, ce résultat généralise tous les exemples connus de telles structures expansives. Nous montrons également que l’espace de module des solitons expansifs de kahler-Ricci conique à  opérateur de courbure positif est connexe par arcs. Ce travail est en collaboration avec Ronan Conlon (Florida International University).