In this talk I will present a joint work with C. Casagrande, in which we study smooth complex Fano 4-folds with a rational fibration onto a 3-fold. After an introduction on the setting and motivation, I will discuss our main result: if X is Fano 4-fold with a rational fibration onto a 3-fold and it is not a product of surfaces, then the Picard number of X is at most 9, and the bound is sharp. Moreover, I will present a classification result in a special case within the setting above, and show new examples of Fano 4-folds with large Picard number.

The aim of this paper is to give some comments on the construction by H. Hironaka [H.61] of a holomorphic (in fact algebraic) family of compact complex manifolds parametrized by $mathbb C$ such for all $u in mathbb C setminus {0}$ the fiber is projective, but such that the fiber at the origin is non kählerian. We also explain why it is not possible to make in the same way such a family with fiber at $0$ a simpler example of non kählerian Moishezon manifold which is also due to H. Hironaka.

This paper does not give a complete proof of Hironaka’s construction. It only tries to give some help for the reader of this famous article and tries to explain some points which are not explicit although they are well known to specialists.

La moyennabilité des groupes a été introduite à  la suite du paradoxe de Banach-Tarski qui permet de découper une boule de R^3 en cinq morceaux, les réassembler pour faire deux boules (de même rayon que la boule initiale). Les sous-groupes aléatoires invariants permettent de compactifier d’un coup les réseaux et les sous-groupes normaux d’un groupe localement compact fixé et donne une vision probabiliste à  ces objets. J’introduirai ces deux notions en essayant de faire appel à  des objets connus et j’expliquerai pourquoi les sous-groupes aléatoires invariants et moyennables vivent dans le radical moyennable. Ce qui répond à  une question qui était à  la mode parmi les gens qui s’intéressent à  ces objets.

Une structure bilagrangienne sur une variété symplectique est la donnée de deux feuilletages lagrangiens transverses. Dans un premier temps je vais décrire ces structures et leurs propriétés remarquables, puis étudier leurs relations possibles avec les structures hyperkähleriennes, qui sont l’analogue quaternionique des structures kähleriennes. Dans un second temps, nous verrons que l’étude de ces structures est pertinente en théorie de Teichmà¼ller, notamment dans la description de la géométrie de l’espace quasifuchsien. Il s’agit de travaux en cours en collaboration avec Andy Sanders.

Les nombres de Chern $c_1^2,c_2inmathbb{Z}$ d’une surface complexe lisse minimale $X$ vérifient l’inégalité de Bogomolov-Miyaoka-Yau $c_1^2leq 3c_2$.
Une surface satisfaisant l’égalité $c_1^2=3c_2$ n’est jamais simplement connexe et Bogomolov demandait à  la fin des années 70 si on peut améliorer l’inégalité de Bogomolov-Miyaoka-Yau en $c_1^2leq ac_2$ avec $a<3$, si on suppose que $X$ est de plus simplement connexe.
Dans cet exposé, on montre qu'il existe des surfaces spin (resp. non-spin) simplement connexes avec $c_1^2/c_2$ arbitrairement proche de 3, et donc que la réponse est négative. La construction se fait à  l’aide de revêtements cycliques du plan ramifiés au-dessus de certains arrangements de cubiques planes lisses, et est un écho des constructions de Hirzebruch de surfaces vérifiant l’égalité $c_1^2=3c_2$ obtenues à  l’aide d’arrangements de droites.

Travail en collaboration avec G. Urzua.

Sur un espace homogène, tout fibré équivariant irréductible est stable au sens de Mumford. J’esquisserai une preuve de ce résultat due à  Biswas. Par ailleurs, par des résultats de Mehta-Ramanathan ou Flenner, la restriction d’un fibré stable à  une intersection complète générique de grand degré reste stable.
Une question naturelle se pose alors : étant donné un fibré homogène irréductible, sur quelles intersections complètes le fibré devient-il instable, s’il y en a ?
Je présenterai plusieurs résultats montrant que, dans le cas du fibré cotangent sur un espace homogène minuscule (par exemple une Grassmannienne), de telles intersections complètes sont très rares. Leurs démonstrations reposeront sur un théorème d’annulation original concernant la cohomologie de Dolbeault des fibrés en droites sur ces espaces homogènes.

En relativité générale, les équations de contraintes déterminent les données initiales permettant de résoudre les équations d’Einstein comme un problème d’évolution. La méthode conforme – initiée par Choquet-Bruhat, Lichnerowicz et York – rend ces équations déterminées en les posant sous la forme d’un système d’équations elliptiques non-linéaires (sur)-critiques fortement couplé. Nous étudierons dans cet exposé des propriété de stabilité de ce système elliptique. La notion de stabilité étudiée ici, définie comme une propriété de dépendance continue de l’ensemble des solutions du système en ses coefficients, se traduit en termes de pertinence physique de la méthode conforme dans la construction d’espace-temps solutions des équations d’Einstein. L’analyse de la stabilité du système des contraintes fait intervenir des techniques fines de blow-up et d’étude des défauts de compacité d’équations elliptiques critiques

Dans cet exposé j’essayerai d’expliquer les résultats de C. Xu sur les groupes fondamentaux épointés de germes de singularité klt (c’est à  dire le groupe fondamental d’un voisinage analytique assez petit privé du point singulier considéré). La démonstration repose en grande partie sur des résultats récents du MMP.

Au cours de leur classification des faux plans projectifs, Cartwright et Steger ont découvert de façon assez surprenante une surface de caractéristique d’Euler 3 dont le revêtement universel est la boule, et qui fibre sur une courbe elliptique. Le but de cet exposé sera de décrire de façon aussi précise que possible la géométrie de cette surface. Il s’agit d’un travail en commun avec D. Cartwright et S.-K. Yeung.