Séminaires

Soient $\mathcal{A}$ un ensemble fini d’entiers naturels non-nuls et $y \geq 1$. Nous donnons une minoration effective du cardinal de l’ensemble $\{n\in\mathcal{A} ; p|n \Rightarrow p \leq y\}$ sous la condition d’une bonne connaissance du niveau de répartition de l’ensemble $\mathcal{A}$. Quelques conséquences seront ensuite abordées, dont une application aux valeurs friables de polynômes ou de formes binaires à coefficients entiers, puis une application aux entiers friables voisins.

Les surfaces minimales sont les surfaces qui sont points critiques de la fonctionnelle d’aire à bord fixé. Elles sont caractérisées par le fait que leur courbure moyenne est nulle. Un problème posé par Ricci est de déterminer quelles surfaces riemanniennes peuvent être immergées (localement) isométriquement comme surfaces minimales de l’espace euclidien de dimension 3. Ricci a donné une caractérisation dans le cas où la surface est à courbure strictement négative. A. et S. Moroianu ont donné une caractérisation complète sans cette hypothèse et ont introduit la notion de surface de Ricci. Nous verrons des généralisations de cette notion, nous intéresserons aux surfaces de Ricci généralisées compactes et verrons le lien avec les surfaces à courbure constante et singularités coniques. Il s’agit d’un travail en commun avec Yiming Zang.

Decomposing functions in terms of higher-order harmonics is a central topic in higher-order Fourier analysis. In its simplest form, such a decomposition is as follows. For a bounded function defined on a finite abelian group $f: Z\to \mathbb{C}$, we write it as $f=f_s+f_r+f_e$ where: $f_s$ is the sum of « a few » Fourier characters with large amplitudes, $f_r$ is a function whose largest Fourier amplitude is « small » (which is the same as having a small Gowers $U^2$ norm), and $f_e$ is small in $L^2$. Higher-order analogues where we ask $f_r$ to be small in the Gowers $U^d$ norm for $d\ge 3$ are interesting as we may use them to, e.g., prove Szemerédi’s theorem with good quantitative bounds. Many results guarantee that such a decomposition exists, but few are implementable in applied scenarios. In this talk, we will present a practical approach to finding such a decomposition in the $U^3$ case and demonstrate its performance on synthetic data.

Vincent Lafforgue a montré que tout coefficient matriciel SO(2)-fini d’une représentation unitaire de SO(3) est 1/2-Hölderien – en dehors de certains points singuliers. Ce seul résultat joue un rôle important dans la preuve de la propriété (T) renforcée pour SL(3,R) et d’autres avancées récentes en algèbre d’opérateurs. Dans cet exposé, j’expliquerai comment ce résultat de régularité peut s’interpréter en terme de paires de Gelfand et de fonctions sphériques. Grâce à cela, je montrerai qu’on peut le généraliser à tous les groupes de Lie semi-simples en étudiant le comportement asymptotique de ces fonctions. Dans le cas non-compact, la structure des groupes de Lie en donne une représentation intégrale aisément manipulable. Le cas compact est étonnement plus difficile et nécessite de passer par l’analyse complexe.

Nous étudions les nombres premiers avec l’ordre de leurs chiffres inversé (poci). Les nombres premiers palindromiques sont des exemples dont l’écriture inversée est également un nombre premier, mais tous les pocis n’est sont pas premiers. Nous démontrons l’infinitude des pocis dans toute progression arithmétique satisfaisant certains conditions simples. C’est un travail en collaboration avec Yuta Suzuki.

Let G be a semisimple real Lie group with Lie algebra g. We will show how the universal enveloping algebra U(g) naturally fits into a one-parameter family of algebras U_q(g) with interesting structure. Any of these algebras U_q(g) moreover allows for an associated C*-algebra, whose representation category closely resembles that of G. We mainly explain these ideas and results in the concrete case of SL(2,R). This is based on joint work with Joel Right Dzokou Talla.