Séminaire Probabilités et Statistique

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Single-cell data yield profound insight into the complex nature of molecular feature distributions. However, they also pose statistical analysis challenges. A key challenge is the intricate geometry of these distributions, which requires non-linear analysis methods. We propose a kernel-based framework for comparing conditions in single-cell experiments that allows non-linear comparisons of different cell populations. In this talk, I will explain how embedding the data in an infinite-dimensional reproducing kernel Hilbert space (RKHS) facilitates non-linear operations on the data via linear operations in the feature space. I will present a linear model in the RKHS and introduce a truncated kernel Hotelling-Lawley statistic with an associated kernel trick. This statistic has been shown to have an asymptotic chi-squared distribution, which allows to quantify the significance of the test results. The functionality and flexibility of the proposed approach will be demonstrated on scRNA-Seq data obtained in the context of cerebral arteries profiling. The goal of this analysis is to gain insight into the appearance of intracranial aneurysms.

Exposé à Metz. Titre et résumé à venir.

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Le but de cet exposé sera d’étudier le comportement limite d’arbres de Bienaymé-Galton-Watson conditionnés à avoir un grand nombre de sommets, dont un nombre fixé de feuilles ou de nœuds internes. Dans le premier cas, nous obtiendrons un résultat universel quelle que soit la loi de reproduction. En revanche, le conditionnement par le nombre de sommets et de noeuds internes donnera lieu à une diversité de comportements asymptotiques selon les propriétés de la loi de reproduction, allant de phénomènes de condensation à des structures d’arbres plus allongées.

Stochastic partial differential equations (SPDEs) are a major subject of current research in probability and analysis, with rich methodologies for studying existence and regularity. At the same time, SPDEs are increasingly used as statistical models for spatially and temporally structured data, where inference requires learning unknown parameters or functions from observations. In this talk, we consider Bayesian inference for the reaction function in a stochastic reaction-diffusion equation, based on a single solution trajectory observed continuously in space over a fixed time interval. We place a Gaussian process prior on the reaction function and derive posterior contraction rates in a novel asymptotic regime in which the spatial domain grows while the observation horizon remains fixed. In this setting, the SPDE solution becomes spatially ergodic and converges to a stationary process, which allows us to prove concentration inequalities for spatial averages of the solution. The proofs combine tools from Malliavin calculus – most notably the Clark–Ocone formula – with sharp bounds on the marginal densities of the SPDE.

The aim of this presentation is to show different results obtained in the field of semi-Markov processes focusing on risk/reliability indicators and related statistical inference aspects. The first part concerns discrete-time semi-Markov processes which are defined in a finite state space. Theoretical results are obtained in terms of evaluation and statistical estimation of risk indicators such as the mean time to failure. The asymptotic behavior of the empirical estimators is studied in the case of one single (large) trajectory. The results are illustrated on both real and simulated wind data. The second part of the presentation concerns partially observed semi-Markov chains such as the hidden Markov renewal and the hidden semi-Markov chains. Statistical estimation results are presented for reliability indicators such as the failure occurrence rate. In the third part, we present bootstrap estimators of risk indicators when the state space is discrete along with posterior concentration rates of the kernel density when the state space is continuous.

(Exposé en français avec des diapositives en anglais.)

Les structures de régularités permettent de construire des théories de solutions afin de résoudre des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPs).
Après une introduction aux structures de régularité, nous verrons qu’il est possible de les interpréter dans un cadre catégorique via la théorie des espèces combinatoires.
Nous verrons ensuite deux applications de ce point de vue, tout d’abord un théorème de Y. Bruned et V. Dotsenko, puis un préprint récent de Y. Bruned et P. Laubie.

Nous discuterons de la limite de faible intensité d’une mosaïque de Poisson-Voronoï, alias « ideal Poisson-Voronoi tessellation » (IPVT). Dans l’espace hyperbolique de dimension d, une simple description poissonienne de la cellule qui contient l’origine (cellule zéro) permet d’étudier des propriétés fines des tuiles de l’IPVT. Cette description poissonienne de l’IPVT reste simple dans d’autres cas, tels que le produit cartésien de plans hyperboliques.

Exposé basé sur un travail en collaboration avec Nicolas Curien, Nathanaël Enriquez, Russell Lyons et Meltem Ünel (à paraître sur Ann. Probab.), et sur 2412.00822.

Avec des réalisations physiques de la cellule zéro de l’IPVT de l’espace hyperbolique tridimensionnel dans le modèle de la boule de Poincaré (« bijou »).

The study of combinatoric properties of tilings on lattice models has a long history of interactions with both computability (e.g. the undecidability of the domino problem) and statistical physics (e.g. the Peierls argument), but the joining of those two interfaces is relatively recent. Notably, the question “chaotic temperature dependence” originates from the spin-glass literature, and has been active for the last two decades.

In this context, chaoticity can be summarised as the fact that no converging behaviour can occur in a given model as its temperature goes to 0. First formally established for an infinite spin alphabet, this property was later refined using a finite alphabet with long-range 1D interactions, and then finite-range interactions in higher dimensions.

In this talk, I will notably focus on how the simulation of Turing machines within tilings has played a key role in this evolution, up to and including a realisation result on the zero-temperature limit accumulation sets of chaotic models.

(L’exposé sera en français.)

Cet exposé porte sur les algorithmes stochastiques pour le traitement séquentiel des données. Après un rappel des techniques classiques d’approximation stochastique, je présenterai des contributions récentes concernant le développement et l’analyse d’algorithmes avancés tels que Full AdaGrad et les méthodes de Newton stochastiques. Les applications incluent la régression en ligne, l’estimation de la médiane géométrique et des cadres plus généraux. Nous discuterons des garanties théoriques, des propriétés de convergence et des expériences numériques.

Wei Lu est maître de conférences à la FST à Nancy dans notre équipe depuis le 1er septembre.