Séminaire Probabilités et Statistique

Considérons la percolation de premier passage dans le réseau renormalisé Z^d/n pour d>=2 : à chaque arête e, on associe une capacité aléatoire c(e)>=0 de telle sorte que la famille (c(e))_e soit indépendante et identiquement distribuée selon une loi G. On peut interpréter cette capacité comme un débit maximal, i.e., la quantité maximale d’eau pouvant traverser l’arête par unité de temps. Considérons un domaine borné et connecté Ω de R^d et deux ensembles disjoints du bord de Ω : un part lequel l’eau peut entrer (la source) et un part lequel l’eau peut sortir (le puits). Nous nous intéressons au flot maximal : la quantité maximale d’eau pouvant entrer dans Ω par unité de temps. Un courant est une fonction sur les arêtes qui décrit la façon dont l’eau circule dans Ω. Dans cet exposé, nous présenterons un principe de grande déviation pour les courants et nous en déduirons par un principe de contraction un principe de grande déviation pour le flot maximal dans Ω.
Travail en collaboration avec Marie Théret.

A growth-fragmentation is a stochastic process representing cells with continuously growing mass, which experience sudden splitting events. Growth-fragmentations are used to model cell division and protein polymerisation in biophysics. It is interesting to ask whether these processes converge toward an equilibrium, in which the number of cells is growing exponentially and the distribution of cell sizes approaches some fixed asymptotic profile. In this work, we study a process in which the growth and splitting of an individual cell is largely independent of its mass, with the exception that the mass is bounded above, so it cannot exceed a given constant. We give precise conditions to ensure that, almost surely, the process exhibits this equilibrium behaviour, and express the asymptotic profile in terms of an underlying Lévy process.

This is joint work with Emma Horton (Inria Bordeaux).

Une factorisation d’une permutation est une façon d’écrire cette permutation comme un produit de transpositions. L’ensemble des factorisations du n-cycle (12…n), particulièrement étudié en raison notamment de ses liens avec la combinatoire algébrique, est en bijection avec un ensemble de cartes à n sommets, dont le genre est donné par le nombre de transpositions de la factorisation. J’exposerai un algorithme inspiré de cette bijection et permettant de générer une factorisation aléatoire uniforme du n-cycle dont la carte correspondante est de genre fixé.

Je montrerai également comment cet algorithme permet de décrire la limite, en un certain sens, d’une factorisation uniforme de genre donné.

Travail en collaboration avec Valentin Féray et Baptiste Louf.

In this talk, we will present a new approach to the problem of transfer learning for GANs. It allows training deep neural networks with limited computational resources in the specific context of generative models. We prove rigorously, within the framework of optimal transport, a theorem that ensures the convergence of the learning of the transferred Wasserstein GAN. It is joint work with Jean-Baptiste Gouray

La méthode de Stein est un outil bien connu en probabilités pour construire des bornes précises sur des distances probabilistes. Initialement proposée pour l’approximation gaussienne, elle a par la suite été étendue à bon nombre de lois comme la loi de Poisson, binomiale, exponentielle, variance Gamma, et bien d’autres. Ces dernières années, cette méthode probabiliste a aussi connu un réel succès en statistique et machine learning, et a permis des développements théoriques et computationnels assez spectaculaires. Dans cet exposé, je vais donner un aperçu sur ces développements, avec un focus particulier sur une nouvelle mesure de l’impact du choix de la prior distribution en statistique bayésienne.

Je donnerai dans cet exposé deux exemples de problèmes de contrôle stochastique consistant à optimiser un critère discontinu, dans lesquels d’une part, la fonction valeur peut être obtenue explicitement et d’autre part, le contrôle optimal est extrémal (contrôle bang-bang). Je considèrerai d’abord le problème consistant à minimiser une probabilité de ruine en temps fini pour des martingales browniennes. En calculant explicitement les probabilités de sorties d’un triangle rectangle par le mouvement brownien (en utilisant des résultats connus sur les processus de Bessel), il est possible de montrer que la fonction valeur du problème de contrôle est une solution régulière d’une EDP de la chaleur avec des conditions aux bords discontinues. J’expliquerai en quoi ce problème est utile en assurance, en biologie, ou encore en science politique. Dans un 2e temps, je montrerai comment obtenir des résultats similaires dans des problèmes de jeux différentiels à N joueurs, dont je prendrai une approximation de type champs moyen dans le régime où N est grand. Cet exposé s’appuie sur des travaux en collaboration avec Stefan Ankirchner (Jena), Christophette Blanchet-Scalliet (Lyon), Julian Wendt (Jena) et Chao Zhou (Hong Kong).

Dans cet exposé, on s’intéressera à un problème de physique statistique hors équilibre : la propagation de l’énergie dans des chaînes d’oscillateurs, classiques ou quantiques, en dimension 1. Si l’énergie est l’unique quantité conservée, on s’attend dans la plupart des cas à observer un transport diffusif. Néanmoins, si le milieu est désordonné, il est possible d’observer une absence totale de transport (localisation d’Anderson et localisation à N corps), ou un transport plus lent que diffusif, dû à la présence de goulots. J’expliquerai la phénoménologie et je donnerai un modèle Hamiltonien où on peut obtenir un résultat mathématique rigoureux. L’exposé se base sur un travail en collaboration avec Wojciech De Roeck et Stefano Olla.

Les automates cellulaires forment une classe riche de systèmes dynamiques sur l’ensemble des suites symboliques. Ils servent notamment de modèles simplifiés en informatique, pour le calcul parallèle, et en physique statistique, pour étudier l’évolution de systèmes de particules. Un problème classique consiste alors à étudier les environnements laissés stable par l’évolution d’un ou plusieurs automates et en particuliers leurs mesures invariantes ou les distributions asymptotiques des itérés des automates sur une configuration aléatoire. Nous présenterons dans cet exposé plusieurs restrictions sur ces automates en fonction de la complexité de l’environnement.